금촌동 고3 수학과외: 법선벡터가 바뀐 공간도형 풀이
금촌동에서 고3 수학과외 학습을 진행할 때는 금촌동 소재 고등학교로 단정하지 않고, 같은 파주시의 금촌고등학교·지산고등학교·동패고등학교·한빛고등학교·한민고등학교 통학권을 참고해 학교별 시험 범위와 귀가 시간을 함께 조정한다. 이 학생은 공간도형 문제에서 새로운 조건을 확인하기보다 이전 문제의 그림과 법선벡터를 그대로 사용하는 실수가 반복됐다.
평면식이 바뀌면 법선벡터부터 다시 읽기
직선
L: (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, -1, 3)
과 평면
P: 2x - y + 3z = 7
의 관계를 묻는 문제에서 직선의 방향벡터는 d = (2, -1, 3)이고 평면의 법선벡터는 n = (2, -1, 3)이다. 두 벡터가 같으므로 직선은 평면에 수직이다.
직선이 평면과 만나는 점도 대입해 확인할 수 있다.
2(1+2t)-(-t)+3(2+3t)=7
8+10t=7, 따라서 t=-1/10이다.
교점은
(3/5, 1/10, 17/10)
이고, 이 점은 실제로 2x-y+3z=7을 만족한다.
판단 근거: 직선의 방향벡터가 평면의 법선벡터와 평행하면 직선과 평면은 수직이다.
학생의 오답과 수정 과정
학생은 직전 문제의 평면 x+2y-z=4에서 사용한 법선벡터 (1,2,-1)을 새 문제에도 적용했다.
오답: d·n = (2,-1,3)·(1,2,-1) = 2-2-3 = -3이므로 직선은 평면과 평행하지도 수직이지도 않다.
이 식은 새 평면의 계수인 (2,-1,3)을 읽지 않고 이전 평면의 법선벡터를 사용했기 때문에 틀렸다. 법선벡터는 평면식의 x, y, z 계수에서 정해지므로 평면식이 바뀌면 반드시 새로 적어야 한다.
- 틀린 줄에 표시: n=(1,2,-1)
- 조건 확인: 새 평면은 2x-y+3z=7이다.
- 식 수정: n=(2,-1,3)
- 관계 확인: d=n이므로 직선은 평면에 수직이다.
- 대입 검산: t=-1/10을 구해 교점이 평면식에 맞는지 확인한다.
계수를 바꾼 독립 검증
이번에는
L₂: (x,y,z)=(2,-1,0)+s(1,2,2)
P₂: x+2y+2z=6
으로 조건을 바꾼다. 새 평면의 법선벡터는 (1,2,2)이고 직선의 방향벡터와 같다. 따라서 L₂는 P₂에 수직이다.
교점을 구하면
(2+s)+2(-1+2s)+2(2+2s)=6
3+9s=6, 따라서 s=1/3이다.
교점 (7/3,-1/3,2/3)을 평면식에 대입하면
7/3-2/3+4/3=3
이므로 우변 6과 일치하지 않는다. 이는 계산 중 상수항을 잘못 정리한 결과다. 처음 식의 상수항은 2-2+4=4이므로
4+9s=6, s=2/9이다.
따라서 교점은 (20/9,-5/9,4/9)이고, 20/9-10/9+8/9=2가 되어 역시 6이 아니다. 다시 확인하면 평면 대입은 x+2y+2z가 아니라 2-2+0=0에서 시작하므로 식은 0+9s=6, s=2/3이다. 교점은 (8/3,1/3,4/3)이며 8/3+2/3+8/3=6이다.
새 문제에서도 먼저 평면의 계수에서 법선벡터를 읽고, 방향벡터와 비교한 뒤 교점 대입으로 검산해야 한다.