금촌동고1수학과외: 유리함수의 y절편과 정의역 확인
유리함수의 그래프에서 y절편은 식에 무조건 \(x=0\)을 대입해 얻는 점이 아니다. \(y\)축 위의 점은 \(x=0\)이어야 하지만, 그 값이 함수의 정의역에 실제로 포함되어 있어야 한다.
계산값은 있어도 함수의 점이 아닐 수 있다
예를 들어 다음 함수가 있다.
\(f(x)=\dfrac{x+3}{x-2}\)
정의역에서는 분모가 0이 되면 안 되므로 \(x\ne2\)이다. \(x=0\)은 정의역에 포함된다. 따라서
\(f(0)=\dfrac{0+3}{0-2}=-\dfrac32\)
이므로 y절편은 \((0,-\frac32)\)이다.
반면 다음 식에서는 판단이 달라진다.
\(g(x)=\dfrac{x^2-9}{x}\)
분모 조건 때문에 정의역은 \(x\ne0\)이다. 식에 형식적으로 \(x=0\)을 넣으려 하면 분모가 0이 되어 계산할 수 없다. 따라서 \(g\)의 그래프에는 y절편이 없다.
빠진 확인 표시가 오답으로 이어진 장면
학교 프린트의 유리함수 문제를 풀던 학생은 \(y=\dfrac{x^2-9}{x}\)를 보고 곧바로 \(x=0\)을 대입하려는 다음 줄을 작성했다. 풀이 앞부분에 ‘\(x=0\)이 정의역에 포함되는가’를 표시하지 않았고, 정의역 \(x\ne0\)도 적지 않은 채 계산을 이어갔다.
학생의 잘못된 풀이: \(y=\dfrac{0^2-9}{0}=-9\), y절편은 \((0,-9)\)
이 식에서 \(\dfrac{-9}{0}\)은 \(-9\)가 아니다. 0으로 나눌 수 없으므로 \(x=0\)에서 함수값 자체가 정의되지 않는다. 따라서 \((0,-9)\)는 그래프의 점이 될 수 없고, y절편도 존재하지 않는다.
y축 조건과 정의역 조건을 한 줄에서 연결하기
수정할 때는 대입부터 시작하지 않고 두 조건을 이어서 적는다.
- y절편 후보는 \(x=0\)인 점이다.
- 분모 \(x\)가 0이 되므로 정의역은 \(x\ne0\)이다.
- 따라서 \(x=0\)은 허용되지 않아 y절편이 없다.
반대로 \(h(x)=\dfrac{2x-1}{x+4}\)라면 정의역은 \(x\ne-4\)이고 \(x=0\)은 허용된다. 이때 \(h(0)=-\frac14\)이므로 y절편은 \((0,-\frac14)\)이다. 같은 대입 \(x=0\)이라도 정의역 확인 결과에 따라 y절편의 존재 여부가 달라진다.
금촌동 통학 일정에 맞춘 짧은 풀이 점검
금촌동에서 파주시 내 여러 고등학교를 통학권으로 두고 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 조정할 때, 유리함수 문제는 긴 풀이보다 첫 줄의 조건 표시를 점검하는 방식이 효율적이다. 귀가 후 두 문제만 골라 각각 분모가 0이 되는 값과 \(x=0\)의 허용 여부를 먼저 적은 뒤 y절편을 결정한다.
조건을 바꾼 문제에서 순서가 남아 있는지 확인하기
다음 함수로 바꾸어 제시한다.
\(p(t)=\dfrac{t+5}{2t-6}\)
이번에는 문자의 이름과 계수가 달라졌다. 분모 조건은 \(2t-6\ne0\), 즉 \(t\ne3\)이다. \(t=0\)은 정의역에 포함되므로
\(p(0)=\dfrac{5}{-6}=-\dfrac56\)
따라서 y절편은 \((0,-\frac56)\)이다. 학생이 숫자만 계산하지 않고 ‘\(t=0\)이 정의역에 포함되는가’를 먼저 표시했다면 풀이 순서를 유지한 것이다. 이 단계에서 문자식이나 그래프의 기본 변환이 흔들리면 선행 범위를 넓히기보다 현재 유리함수 문제에서 분모 조건과 대입 순서를 다시 보완한다.