금릉동고2수학과외: 접점의 좌표와 기울기로 변형된 접선식 다시 세우기
귀가 시각과 과제량이 달라지면 금촌고등학교 고2 학생의 시험 준비 순서도 달라질 수 있다. 그러나 미분 단원에서 먼저 확인할 것은 공부 시간보다 접선의 방정식을 세울 때 접점, 도함수, 부호를 한 줄로 연결하는지이다.
왜 x-a가 접점에서 출발하는가
함수 f(x)의 그래프 위 접점이 (a, f(a))이고 접선의 기울기가 f'(a)라면 접선은
y-f(a)=f'(a)(x-a)
로 쓴다. 여기서 x-a는 임의로 정하는 표현이 아니라, 접점의 x좌표 a에서 현재 x까지의 변화량이다. 따라서 접점이 (2, 3)이면 변화량은 x-2가 된다.
예를 들어 f(x)=x²-1에서 x=2일 때
f(2)=3, f'(x)=2x, f'(2)=4
이므로 접선은
y-3=4(x-2), 즉 y=4x-5이다.
풀이 중 y-3=4(x+2)라고 적으면 기울기 4 자체는 맞지만 접점에서의 변화량을 반대로 쓴 것이다. 이 식에 x=2를 대입하면 y=19가 되어 접점 (2, 3)을 지나지 않는다.
부호 오류가 시작된 줄에서 이어서 고치기
변형 문제에서 도함수까지는 정확히 구한 뒤 접선식만 바꾸어 적는 경우가 있다. 이때 풀이를 처음부터 베껴 쓰기보다 오류가 난 줄을 표시하고 다음 세 가지를 확인한다.
- 접점의 x좌표가
a인지 확인한다. - 접선식에
x-a를 넣는다. - 완성한 식에
x=a를 대입해 y좌표가f(a)가 되는지 검사한다.
예를 들어 g(x)=x³-3x+1의 x=1에서 접선을 구하면
g(1)=-1, g'(x)=3x²-3, g'(1)=0
이다. 따라서
y+1=0(x-1), 즉 y=-1
이 정답이다. 여기서 x+1로 잘못 써도 기울기가 0이라 겉으로는 같은 식처럼 보인다. 그러므로 부호만 보고 판단하지 말고, 기울기가 0이 아닌 문제에서도 접점을 대입해야 한다.
계수와 접점을 바꾼 뒤에도 같은 판단이 남는지 확인하기
다음 문제는 앞의 식을 그대로 반복하지 않고 조건을 바꾼 검증이다.
문제: h(x)=2x²+x-1의 그래프 위 점 (-1, 0)에서의 접선의 방정식을 구하여라.
먼저
h'(x)=4x+1이므로 접선의 기울기는
h'(-1)=-3
이다. 접점의 x좌표가 -1이므로 변화량은 x-(-1)=x+1이다. 따라서
y-0=-3(x+1), 즉 y=-3x-3
이다. 마지막으로 x=-1을 대입하면 y=0이므로 접점을 통과한다.
이 검증에서 확인할 기준은 답만 맞히는지가 아니다. 도함수에서 기울기를 구한 뒤 접점의 x좌표를 이용해 x-(-1)을 스스로 만들었는지, 그리고 완성한 접선에 접점 좌표를 다시 대입했는지를 본다. 이 순서가 유지되면 계수와 부호가 달라진 접선 문제에서도 도함수와 접선의 연결을 재현할 수 있다.