금릉동고1수학과외, 제한된 정의역에서 유리함수 치역 읽기
금릉동 금촌고등학교의 학교 과제와 시험 준비를 함께 점검할 때, 유리함수의 그래프를 그릴 수 있어도 정의역이 제한되면 치역을 잘못 적는 경우가 있다. 특히 귀가 후 풀이 시간이 짧을수록 그래프의 일부만 보고 답을 계산하는 행동이 나타난다.
그래프 전체가 아니라 허용된 부분만 보아야 하는 문제
다음 함수의 치역을 구해 보자.
f(x) = (4x - 3)/(x + 1), x ≥ 1
식을 변형하면
f(x) = 4 - 7/(x + 1)
일반적인 유리함수 그래프라면 수평점근선은 y = 4이다. 그러나 이 문제의 그래프 전체를 사용하는 것이 아니라 x ≥ 1인 부분만 허용된다. 따라서 x = 1에서 시작하는 오른쪽 가지의 값만 조사해야 한다.
답을 먼저 계산하면서 빠진 판단
이 유형을 풀던 학생은 그래프를 떠올린 뒤 정의역 조건을 답안 첫 줄에 적지 않고, 곧바로 “점근선이 y = 4이므로 치역은 y ≠ 4”라고 작성했다. 이 결론은 정의역이 x ≠ -1로 제한된 그래프 전체를 볼 때의 판단에 가깝고, 이 문제의 x ≥ 1 조건을 반영하지 못한 오답이다.
현재 상태는 유리함수의 점근선은 기억하지만, 제한된 정의역이 그래프의 어느 부분을 남기는지와 그 부분의 최솟값을 연결하지 못하는 단계로 볼 수 있다.
x=1에서 시작해 y=4에 가까워지는 가지
정의역 조건을 먼저 그래프에 표시한다. x ≥ 1이므로 허용되는 x의 최솟값은 1이다. 이때
f(1) = (4 - 3)/(1 + 1) = 1/2
또한 x ≥ 1이면 x + 1 ≥ 2이므로
0 < 7/(x + 1) ≤ 7/2
여기서 부호 판단과 절댓값 계산을 섞지 않는다. 분수항은 양수이고, 그 절댓값은 분모가 커질수록 작아진다. 따라서
-7/2 ≤ -7/(x + 1) < 0
이고, 양변에 4를 더하면
1/2 ≤ y < 4
가 된다. x = 1에서 y = 1/2을 포함하며, x가 계속 커질 때 y는 4에 가까워지지만 4가 되지는 않는다. 그러므로 치역은 [1/2, 4)이다.
서술형 답안에 남길 순서
- 정의역 x ≥ 1을 그래프에 먼저 표시한다.
- 경계점 (1, 1/2)을 계산해 포함 여부를 확인한다.
- 수평점근선 y = 4에 접근하는 방향과 부호를 판단한다.
- 경계값은 포함하고 점근선 값은 제외하여 [1/2, 4)로 적는다.
금릉동에서 학교 과제와 지필평가 준비 순서를 정할 때도 이처럼 풀이 첫 줄에 정의역을 적는지 확인하면 된다. 같은 문제를 다시 맞혔는지가 아니라, 풀이를 시작하자마자 제한 조건과 그래프의 허용 부분을 스스로 표시하는지가 기준이다.
조건을 바꾼 검증 문항
새 문항에서는
g(x) = (3x + 5)/(x - 2), x ≤ -1
의 치역을 구하게 한다. 변형하면 g(x) = 3 + 11/(x - 2)이다. x ≤ -1이면 x - 2 ≤ -3이므로 분수항은 음수이고,
|11/(x - 2)| = 11/|x - 2| ≤ 11/3
이다. 경계 x = -1에서 g(-1) = -4/3이고, x가 작아질수록 g(x)는 3에 가까워진다. 따라서 치역은 [-4/3, 3)이다.
이 문제에서 학생이 정의역을 먼저 쓰고, 음수라는 부호 판단과 절댓값 계산을 분리해 같은 순서로 설명한다면 수정된 행동이 새로운 수치에도 적용된 것이다. 마지막으로 학생이 풀이를 마친 뒤 “정의역 표시, 경계값 포함, 점근선 제외”를 스스로 확인하고 복습 종료 시점을 결정하면 해당 학습 항목을 마무리한다.