금릉동 고3수학과외: 법선벡터로 평면 관계를 다시 판별하기
금릉동에서 금촌고등학교에 다니는 학생은 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 진행하면서 공간도형 문제의 조건을 빠르게 확인하는 연습을 했다. 특히 표현 순서와 범위가 바뀐 변형문제에서 이전에 그렸던 그림을 그대로 적용하는 습관이 나타났다.
평행한 두 평면을 같은 평면으로 본 오답
다음 두 평면을 살펴보자.
π1: 2x-y+2z-3=0
π2: 4x-2y+4z+5=0
학생은 두 번째 식의 계수를 2로 나누어
2x-y+2z+\frac{5}{2}=0
으로 바꾼 뒤, 법선벡터가 같으므로 두 평면이 동일하다고 판단했다.
학생의 오답: “법선벡터의 방향이 같으므로 π1과 π2는 같은 평면이다.”
이 결론은 틀렸다. 평면의 법선벡터가 비례하면 두 평면은 평행하거나 일치할 뿐이다. 실제로 π1의 상수항은 -3이고, π2를 같은 계수로 맞춘 식의 상수항은 \frac{5}{2}이므로 두 식은 일치하지 않는다.
두 평면 사이의 거리는 평면 π1을 기준으로 π2를 정리하여 계산한다.
π2를 2로 나누면 2x-y+2z+\frac{5}{2}=0이므로
d=\frac{\left|\frac{5}{2}-(-3)\right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} =\frac{\frac{11}{2}}{3} =\frac{11}{6}
따라서 두 평면은 서로 평행하지만 다른 평면이다.
후보값을 하나씩 조건에 대입한 수정 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 두 평면의 법선벡터를 분리해 적었다.
- n1=(2,-1,2)
- n2=(4,-2,4)=2n1
그다음 후보 관계를 체크했다.
- 법선벡터가 비례하는가? 통과
- 두 평면의 계수와 상수항까지 같은 비율인가? 불통과
- 두 평면의 교선이 존재하는가? 불통과
- 두 평면 사이의 거리가 0인가? 불통과
법선벡터의 비례만으로 동일 평면이라고 결론 내리지 않고, 상수항까지 같은 비율인지 확인해야 한다. 마지막으로 점을 대입해 검산했다. π1에서 점 (0,0,\frac{3}{2})는
2(0)-0+2\left(\frac{3}{2}\right)-3=0
을 만족하지만 π2에 대입하면
4(0)-2(0)+4\left(\frac{3}{2}\right)+5=11\neq0
이다. 따라서 한 평면 위의 점이 다른 평면 위에 있지 않으므로 동일 평면이라는 주장은 성립하지 않는다.
방향 조건을 바꾼 새 문제로 전이 확인
이번에는 평행 조건을 수직 조건으로 바꾸었다.
σ1: x+2y-z+1=0
σ2: 2x-y+az-4=0
두 평면이 수직이 되려면 법선벡터의 내적이 0이어야 한다.
n1=(1,2,-1), n2=(2,-1,a)
n1·n2=1·2+2(-1)+(-1)a=-a
따라서 -a=0이므로 a=0이다. 이때 두 법선벡터는 비례하지 않고 내적만 0이므로 평면은 수직으로 만난다. 학생은 이전 문제의 ‘법선벡터 비례’ 기준을 그대로 사용하지 않고, 바뀐 방향 조건에 맞춰 내적을 계산해 답을 검증했다.
금릉동 지역에서 고3 수학을 공부할 때도 공간문제의 그림을 기억하는 것보다 법선벡터, 상수항, 거리와 내적의 관계를 새 조건마다 다시 확인하는 과정이 중요하다.