처인구고2수학과외

좌극한만 계산하고 매개변수를 정한 순간

처인구고2수학과외에서는 학교 프린트의 여백에 남은 풀이 한 줄도 중요한 단서가 된다. 역북동과 김량장동에서 학교와 귀가 동선이 길어지면 긴 풀이보다, 극한이 존재하는 데 필요한 조건을 빠르게 연결하는 답안 습관이 우선 드러난다.

다음 함수에서 lim_x→1f(x)이 존재하도록 상수 a를 구하는 문제를 살펴보자.

f(x) = { x² + a   (x<1),
        2x+1         (x≥1) }

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

오른쪽 식에 1을 대입하면 3이므로 a=3.

이 식은 오른쪽 극한만 계산한 뒤 매개변수와 연결한 잘못된 풀이이다. 오른쪽 극한은 lim_x→1+f(x)=2·1+1=3이지만, 극한의 존재를 판단하려면 좌극한도 반드시 같은 값이어야 한다.

두 방향의 접근값을 하나의 식으로 연결하기

왼쪽에서는 lim_x→1−f(x)=1²+a=1+a이다. 오른쪽 극한은 3이므로

1+a=3

에서 a=2를 얻는다. 실제로 이때 좌극한과 우극한은 모두 3이므로 양쪽 극한은 존재한다.

풀이 중간에 한쪽 계산만 적혀 있다면 그 자리 옆에 ‘좌’ 또는 ‘우’를 표시하고, 처음 누락된 부분에 별표를 붙인다. 이 문제에서는 오른쪽 극한을 구한 뒤 멈춘 것이 최초 오류다. 그 줄을 지운 뒤 좌극한을 추가하는 한 단계만 수정한다.

함숫값이 아니라 좌우극한을 비교해야 하는 경우

구간별 함수에서는 x=1에서 실제로 정의된 값이 있다는 사실만으로 극한이 존재하지 않는다. 극한의 존재 조건은

lim_x→1−f(x) = lim_x→1+f(x)

이다. 이 문제의 오른쪽 식이 x=1을 포함하므로 f(1)=3이기도 하지만, 함숫값 3을 확인하는 것과 좌극한이 3인지 확인하는 것은 별개의 단계다.

조건을 바꾼 짧은 검산

이번에는 다음 문제를 풀이한다. 단, a와 관계없는 정보인 “그래프가 x=4에서 x축과 만난다”는 조건도 함께 제시되어 있다.

g(x) = { 3x+a   (x<2),
        x²−1   (x≥2) }

lim_x→2g(x)이 존재하도록 하는 a를 구할 때 x=4에서의 그래프 정보는 필요하지 않다. 좌극한은 6+a, 우극한은 2²−1=3이므로

6+a=3, 따라서 a=−3

가 된다. 이때 좌우극한이 모두 3인지 마지막에 다시 확인한다. 새로운 식에서도 먼저 접근 방향을 나누고, 두 값을 등식으로 묶었는지가 확인되면 매개변수와 극한 존재 조건이 연결된 풀이로 볼 수 있다.