처인구고1수학과외: 표현이 달라진 함수의 정의역·치역·대응 읽기
역북동이나 김량장동에서 학교 수업과 이동을 마친 뒤 짧은 자습시간을 확보할 때는, 함수 문제의 계산보다 먼저 표현이 무엇을 바꾸었는지 확인하는 연습이 필요하다. 식으로 제시되던 함수가 대응표나 순서쌍으로 바뀌면 같은 함수라도 확인할 항목의 위치가 달라진다.
식부터 대입하면서 놓친 값
학교 프린트에서 함수가 다음과 같이 제시되었다.
f(x) = (x+1)/(x-2)
학생은 문제에 나온 x=2를 곧바로 대입하여 f(2)=3/0이라고 적었다. 그러나 이 값은 함수값이 아니다. 분모가 0이 되므로 x=2는 정의역에 포함될 수 없다. 따라서 이 함수의 정의역은 x≠2이고, 식을 계산하기 전에 먼저 입력 가능한 값인지 확인해야 한다.
이 장면에서 나타난 문제는 계산 능력의 부족이 아니라 표현방식이 바뀐 문제에서도 정의역·치역·대응을 확인하지 않은 채 계산을 시작한 것이다.
함수식만 보고 판단하면 대응관계가 사라진다
함수는 단순한 식이 아니라 정의역의 각 원소에 치역의 원소를 하나씩 대응시키는 관계다. 예를 들어
A={-1, 0, 2}, B={0, 1, 5}
f(-1)=0, f(0)=1, f(2)=5
라고 하면 정의역은 A, 치역은 실제로 대응된 값인 {0, 1, 5}이다. 대응표의 오른쪽 집합 B에 값이 더 많이 적혀 있더라도, 실제 함수값으로 나타난 원소만 치역에 포함된다.
반대로 식 g(x)=x²+1과 정의역 {-2, 1, 3}이 주어지면
- g(-2)=5
- g(1)=2
- g(3)=10
이므로 치역은 {2, 5, 10}이다. 정의역 조건을 확인하지 않고 모든 실수에 대한 함수처럼 다루면 문제에서 요구한 대응 범위를 벗어나게 된다.
계산 전에 답안에 남긴 세 줄
같은 유형을 풀 때에는 문제의 표현이 식, 표, 그래프, 순서쌍 중 무엇이든 다음 세 내용을 먼저 적는다.
- 정의역: 입력으로 허용된 값
- 치역 또는 공역: 출력이 놓이는 범위
- 대응: 각 정의역 원소가 어느 값으로 연결되는지
예를 들어 h(x)=√(x-4)라면 근호 안이 음수가 되지 않아야 하므로 정의역은 x≥4이다. x=1을 대입하여 √(-3)을 계산하는 대신, 먼저 입력 조건에 맞지 않는 값임을 표시해야 한다. 그 뒤에 허용된 x=13을 대입하면 h(13)=√9=3으로 대응을 확인할 수 있다.
표현을 바꾼 문제에서 확인한 흔적
대응표가 순서쌍으로 바뀐 문제를 다음처럼 제시했다.
p={(-3,4), (1,0), (4,9)}
학생은 첫 번째 좌표를 정의역, 두 번째 좌표를 함수값으로 표시한 뒤, 정의역을 {-3,1,4}, 치역을 {0,4,9}로 적었다. 이어서 “각 x값이 하나의 y값에만 연결되는가?”라고 확인했다. 이 기록이 있어야 표현이 달라져도 대응관계를 먼저 읽었다고 판단할 수 있다.
식을 정리하는 과정에서 3x+2x=5x처럼 동류항을 묶을 때도 숫자의 모양이 아니라 문자 부분이 같은 항끼리 계산한다. 반면 3x+2x²는 문자 부분의 지수와 형태가 다르므로 하나의 항처럼 합칠 수 없다. 계산 과정에서 어디서 막혔는지를 “정의역을 확인하지 않고 대입했다”처럼 한 문장으로 기록하면 다음 문제에서 수정할 지점을 분명히 찾을 수 있다.
새 조건에서 다시 확인한 함수 읽기
마지막으로 식 대신 다음 대응을 주었다.
q(x)=(x+1)²-1, 정의역 {-2, 0, 3}
학생은 식의 모양만 보고 정의역을 모든 실수로 넓히지 않고, 주어진 세 값만 입력했다.
- q(-2)=(-1)²-1=0
- q(0)=1²-1=0
- q(3)=4²-1=15
따라서 치역은 {0,15}이며, -2와 0이 같은 함수값 0에 대응해도 함수 조건에는 어긋나지 않는다. 새로운 표현과 바뀐 조건에서도 정의역, 치역, 대응을 먼저 적고 계산했는지, 동류항의 기준을 문자 부분으로 설명했는지, 마지막에 자신이 막힌 지점을 한 문장으로 정리했는지를 확인한다.