처인구 고3수학과외, 절단 위치가 바뀐 공간도형 단면 독립 풀이
역북동과 김량장동에서 학교와 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 풀이를 설명받기보다, 조건이 바뀌었을 때 단면의 모양을 처음부터 판단하는 연습이 필요하다. 처인고등학교, 용인고등학교, 고림고등학교, 포곡고등학교, 태성고등학교 등 학교별 통학 동선은 다를 수 있으므로 짧은 시간에도 한 문제를 끝까지 검산하는 방식이 효율적이다.
직전 문제의 부호를 복사한 오답
한 변의 길이가 2인 정육면체를 0≤x≤2, 0≤y≤2, 0≤z≤2 로 두고 평면 x+y+z=5 로 자르는 문제를 풀었다. 정육면체 안에서 좌표의 합은 0부터 6까지 변하므로, 평면은 정육면체를 지난다.
학생은 이전에 풀었던 x+y+z=1 의 단면이 삼각형이었던 것을 그대로 적용하여 다음과 같이 적었다.
x+y+z=5에서 x=0이면 y+z=5이므로 y=2, z=3이다.
따라서 꼭짓점은 (0,2,3), (2,0,3), (2,2,1)이고 단면은 삼각형이다.
이 풀이는 오답이다. 정육면체에서는 z가 0≤z≤2여야 하는데 (0,2,3), (2,0,3)은 z=3이므로 정육면체 밖에 있다. 또한 x=0인 면에서 y+z=5를 만족하는 점은 y=z=2인 한 점뿐이다. 이전 문제의 부호와 단면 모양을 절단 위치가 바뀐 뒤에도 재사용한 것이 오류의 원인이다.
경계값을 직접 확인해 단면을 다시 결정하기
먼저 평면의 식에서 한 변수를 정리한다.
z=5-x-y
정육면체 안에 있으려면
0≤5-x-y≤2
이어야 한다. 따라서
3≤x+y≤5
이고, 동시에 0≤x≤2, 0≤y≤2이다. 그런데 x+y의 최댓값은 4이므로 실제 조건은
3≤x+y≤4
가 된다. 수직선에 경계 3과 4를 표시한 뒤 각각 대입한다. x+y=3에서는 z=2로 정육면체의 윗면과 만나고, x+y=4에서는 z=1로 내부의 선분이 된다. x+y가 3보다 작으면 z가 2보다 커지고, 4보다 크면 가능한 x,y가 없으므로 제외된다.
단면의 꼭짓점은 정육면체의 모서리와 평면의 교점으로 구한다.
- z=2일 때 x+y=3이므로 (1,2,2), (2,1,2)
- x=2일 때 y+z=3이므로 (2,1,2), (2,2,1)
- y=2일 때 x+z=3이므로 (1,2,2), (2,2,1)
따라서 단면은 세 점 (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형이다. 처음의 세 점 중 정육면체 밖의 점을 제거하고, 각 경계면에서 실제로 가능한 점을 다시 계산해야 한다.
학생은 수정 후 세 점을 평면식에 대입했다.
- 1+2+2=5
- 2+1+2=5
- 2+2+1=5
또한 모든 좌표가 0과 2 사이이므로 정육면체 조건도 만족한다. 세 변의 길이는 각각 √2, √2, √2 이므로 정삼각형이라는 사실까지 확인했다.
절단 위치를 바꾼 독립 검증
같은 정육면체 0≤x,y,z≤1을 평면 x+y+2z=3 으로 자르는 새 문제를 제시했다. 이번에는 이전 단면을 복사하지 않고 변수의 범위를 다시 계산한다.
z를 정리하면
z=(3-x-y)/2
0≤z≤1에서
1≤x+y≤3
을 얻는다. 하지만 0≤x,y≤1이므로 x+y≤2이다. 따라서 실제 범위는
1≤x+y≤2
이다. 경계 x+y=1에서는 z=1, x+y=2에서는 z=1/2가 된다. 가능한 교점은
- (0,1,1)
- (1,0,1)
- (1,1,1/2)
이므로 새 단면도 삼각형이다. 그러나 이전 문제의 꼭짓점을 복사한 결과가 아니라, 바뀐 계수 2와 절단 위치 3을 반영해 얻은 삼각형이다. 세 점을 식에 넣으면 각각 0+1+2=3, 1+0+2=3, 1+1+1=3 이 되어 평면 위에 있고, 모든 좌표가 0≤x,y,z≤1도 만족한다.
해가 없는 경우에는 평면식의 좌변 최솟값과 최댓값도 확인한다. 예를 들어 같은 정육면체에서 x+y+2z=5 이면 좌변의 최댓값은 1+1+2=4이므로 가능한 점이 없다. 절단 위치가 달라질 때마다 부호나 단면 모양을 기억해 쓰지 않고, 변수 범위와 경계값을 새로 계산해야 한다.