역북동고2수학과외

역북동고2수학과외에서 먼저 확인하는 연속의 세 조건

용인고등학교로 통학하며 중학교 때보다 과제와 시험 범위가 늘어나면, 풀이 과정도 빠르게 적는 데서 조건을 구분해 기록하는 방식으로 바뀌어야 한다. 특히 함수의 연속 문제는 계산 결과 하나만 맞는다고 끝나지 않는다. 한 점 x=a에서 연속이려면 다음 세 조건이 모두 성립해야 한다.

1. f(a)가 정의되어 있어야 한다.
2. limx→a f(x)가 존재해야 한다.
3. limx→a f(x)=f(a)이어야 한다.

함숫값만 맞아도 연속이라는 판단

다음 함수를 x=1에서 살펴보자.

f(x)=x+2 (x≠1), 4 (x=1)

풀이 중에는 f(1)=4이고, 1+2=3을 계산한 뒤 “값이 정해져 있으므로 연속”이라고 적는 경우가 있다. 그러나 이 결론은 틀렸다.

세 항목을 분리하면

• f(1)=4이므로 함숫값은 존재한다.
• limx→1f(x)=limx→1(x+2)=3이므로 극한값도 존재한다.
• 3≠4이므로 극한값과 함숫값이 같지 않다.

따라서 이 함수는 x=1에서 연속이 아니다. 여기서 3은 주변에서 다가갈 때의 값이고, 4는 점에 실제로 찍힌 함숫값이므로 서로 구별해야 한다.

계산 전에 세 칸을 나누어 쓰는 훈련

답안에 아래와 같은 틀을 먼저 적고 값을 채우도록 한다.

① f(1)=□
② limx→1f(x)=□
③ ①=② 인가?

이제 숫자만 바꾼 식으로 즉시 적용한다.

g(x)=x+5 (x≠2), 7 (x=2)

g(2)=7이고, limx→2g(x)=limx→2(x+5)=7이다. 두 값이 모두 존재하고 서로 같으므로 g(x)는 x=2에서 연속이다. 이때 연속이라고 판단한 근거는 함숫값이 있다는 사실 하나가 아니라 세 조건의 동시 성립이다.

식이 두 갈래로 나뉘면 극한의 존재부터 점검하기

구간에 따라 식이 달라지는 경우에는 함숫값과 함께 좌극한·우극한도 확인해야 한다.

h(x)=x+1 (x<0), x+3 (x≥0)

h(0)=3이지만

limx→0−h(x)=1, limx→0+h(x)=3이다.

좌극한과 우극한이 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다. 따라서 함숫값 h(0)이 정해져 있어도 x=0에서 연속이 아니다. 새로운 문제를 풀 때도 먼저 f(a), 좌우에서의 접근값, 두 값의 일치 여부를 차례로 적어야 이전의 한 항목만 확인하는 오류가 줄어든다.

마지막으로 풀이 식을 가린 뒤 p(x)=2x-1 (x≠3), 5 (x=3)을 점검한다. p(3)=5, limx→3p(x)=5이므로 세 조건이 모두 성립하여 x=3에서 연속이다. 함숫값·극한값·일치 여부를 각각 남겼는지가 이 판단의 확인 기준이다.