역북동 고3 수학과외: 공간의 거리 조건을 좌표식으로 바꾸는 연습
용인시 처인구 역북동에서 용인고등학교를 비롯해 통학과 과제를 함께 관리해야 하는 고3 학생은 짧은 계산보다 조건을 식으로 옮기는 과정에서 자주 막힌다. 특히 공간좌표에서는 평면좌표의 거리공식을 그대로 적용하면 한 좌표의 차이를 빠뜨리기 쉽다.
z좌표 차이를 빠뜨린 첫 풀이
점 P(1,-2,3), Q(4,2,-1) 사이의 거리를 구하는 문제에서 학생은 다음과 같이 계산했다.
PQ=√{(4-1)²+(2-(-2))²}=√(9+16)=5
이 식은 오답이다. 공간의 두 점은 x, y, z 세 좌표로 정해지므로 z좌표 차이 -1-3=-4도 반드시 포함해야 한다. 학생은 평면의 거리공식에 익숙해져 세 번째 방향의 변화를 조건에서 누락했다.
좌표 차이를 먼저 표로 확인하기
- x방향 차이: 4-1=3
- y방향 차이: 2-(-2)=4
- z방향 차이: -1-3=-4
따라서 정의에서 바로
PQ=√{(4-1)²+(2+2)²+(-1-3)²}
=√(9+16+16)=√41
이다. z좌표 차이를 제곱하면 부호는 사라지지만, 차이 자체를 식에 넣는 과정은 생략할 수 없다. 학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 각 좌표의 변화를 따로 적은 뒤 거리공식을 다시 작성했다. 이후 5²=25와 (√41)²=41을 비교해 처음 답이 세 방향의 이동량을 모두 반영하지 못했음을 확인했다.
구의 중심이 바뀐 조건으로 독립 검증
다음에는 중심이 C(2,-1,3)인 구 위의 점 X(6,2,-3)에 대해 반지름을 구했다. 이번에는 이전 점을 반복하지 않고 중심과 좌표를 바꾸어 검증했다.
CX=√{(6-2)²+(2-(-1))²+(-3-3)²}
=√(4²+3²+(-6)²)=√61
학생은 z방향 차이를 생략하지 않고 세 항을 모두 표시했다. 또 중심에서 X까지의 벡터를 (4,3,-6)으로 적은 뒤 제곱합이 16+9+36=61인지 역산해 답을 확인했다. 이렇게 좌표축별 변화량, 거리식, 제곱합을 차례로 점검하면 공간에서 두 점 사이의 거리 조건을 빠뜨리지 않고 해석할 수 있다.