역북동고1수학과외, 합성함수에서 바뀌지 않는 적용 순서
용인고등학교 학습과제와 지필평가 준비가 겹치는 시기에는 합성함수처럼 기호의 순서를 정확히 읽어야 하는 문제가 자주 부담으로 남는다. 역북동에서 통학 후 확보한 짧은 시간에도 f∘g를 보았을 때 어느 함수를 먼저 적용하는지 식으로 바로 나타내는 연습이 필요하다.
f∘g를 보고 왼쪽부터 계산한 풀이
학교 프린트의 다음 문제에서 학생은 합성 기호 안쪽을 표시하지 않은 채 왼쪽의 f부터 계산했다.
f(x)=2x-3, g(x)=x2+1일 때, (f∘g)(x)를 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
f∘g = g(f(x)) = (2x-3)2+1
이 식은 f를 먼저 적용한 g∘f의 계산이다. 합성함수의 오른쪽 함수가 먼저 입력값에 작용하므로, 정확한 전개는 다음과 같다.
(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2+1)=2(x2+1)-3=2x2-1
순서를 숫자로도 확인할 수 있다. x=2이면 g(2)=5이고 f(5)=7이므로 (f∘g)(2)=7이다. 반대로 f(2)=1, g(1)=2이므로 g(f(2))=2이다. 두 결과가 다르므로 f∘g와 g∘f를 같은 식으로 볼 수 없다.
기호를 읽는 방향과 계산하는 방향을 분리하기
이 학생은 합성함수의 정의를 전혀 모르는 상태라기보다, 기호를 보자마자 왼쪽 함수를 먼저 계산하는 행동이 굳어진 상태였다. 오답을 지운 뒤 정답만 다시 적으면 이 행동이 바뀌었는지 확인할 수 없다.
풀이 줄의 가장 오른쪽에 먼저 작용하는 함수를 표시한다.
- f∘g에서는 g를 먼저 적용한다.
- 따라서 (f∘g)(x)=f(g(x))로 바꿔 쓴다.
- g(x)의 결과 전체를 f의 입력 자리에 괄호로 넣는다.
위 문제에서는 g(x)=x2+1을 하나의 덩어리로 보고 f의 x 자리에 대입해야 한다. 2x2+1-3에서 동류항인 상수항 1과 -3을 정리해 2x2-1을 얻는 과정도 빠뜨리지 않는다. 여기서 동류항 여부는 숫자가 아니라 문자 부분이 같은지로 판단한다.
오답노트에는 결과보다 바꾼 행동을 남긴다
오답 기록에는 긴 해설 대신 다음 한 줄을 남긴다.
∘의 오른쪽 함수에 먼저 x를 넣고, 그 결과를 왼쪽 함수의 입력으로 사용한다.
이 문장을 실제 풀이에 적용할 때는 식 위에 1:g, 2:f를 작게 표시한 뒤, f(g(x))를 먼저 작성한다. 같은 문제를 다시 풀어 맞히는 것보다 표시 없이도 이 순서를 지키는지가 더 직접적인 확인이 된다.
계수가 달라진 식에서 순서가 유지되는지 확인하기
다음 문제에서는 숫자와 부호를 바꾼다.
f(x)=-3x+4, g(x)=2x-5일 때, (f∘g)(x)를 구하여라.
오른쪽의 g를 먼저 넣으면
(f∘g)(x)=f(2x-5)=-3(2x-5)+4=-6x+15+4=-6x+19
가 된다. 학생이 g(f(x))=2(-3x+4)-5=-6x+3을 쓰면 이는 다른 합성함수의 결과다. 또한 -6x와 19는 문자 부분이 다르므로 더하거나 합칠 수 없다. 새 계수에서도 먼저 적용할 함수를 말하지 않고 순서 표시와 괄호를 스스로 사용해 -6x+19에 도달하는지 살핀다.
짧은 통학 후에도 확인할 풀이 흔적
역북동에서 학교와 귀가 후 과제를 이어 가는 상황에서는 여러 문제를 빠르게 푸는 것보다 합성 기호를 만났을 때 남기는 한 줄이 분명한지가 중요하다. f∘g를 보자마자 g→f를 표시하고, 바깥 함수의 입력 자리에 안쪽 함수 전체를 괄호로 넣었다면 새로운 계수와 부호에서도 같은 풀이 순서가 유지된 것으로 판단할 수 있다.