김량장동 고2수학과외: 약분 뒤에도 남는 정의역 조건
김량장동어울림아파트 생활권에서 고2 수학을 공부할 때, 학교별 프린트와 주간 일정에 따라 함수 문제를 다루는 순서는 달라질 수 있다. 그러나 연속 문제에서 약분한 식과 원래 함수의 정의역을 구분하는 판단은 반드시 풀이에 남아야 한다.
약분한 식이 원래 함수 전체가 되지는 않는다
다음 함수의 연속성을 살펴보자.
\( f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} \)
분자를 인수분해하면
\( f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 \)
이다. 하지만 약분하기 전 분모가 \(x-1\)이므로 원래 함수의 정의역에는 반드시 \(x\ne1\)이 포함된다. 따라서 정확한 표현은
\( f(x)=x+1\quad (x\ne1) \)
이다. \(x\)가 1에 가까워질 때의 극한은
\( \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2 \)
이지만 \(f(1)\)은 정의되지 않는다. 그러므로 \(x=1\)에서는 함숫값이 존재하지 않아 연속이 아니다. 그래프에서는 \(y=x+1\) 위의 점 \((1,2)\)가 비어 있는 구멍으로 나타난다.
오답표에서 드러난 한 기호의 누락
학생의 풀이에는 약분 자체는 정확했지만 정의역 조건이 사라진 순간이 기록되어 있었다.
잘못된 줄 \( \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 \quad \text{(모든 실수 }x\text{에서)} \)
수정한 줄 \( \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 \quad \text{단, }x\ne1 \)
달라진 것은 \(x\ne1\)이라는 조건 하나지만, 이 조건이 있어야 원래 함수와 약분 후 식을 구별할 수 있다. \(x=1\)을 약분 후 식에 대입해 \(2\)를 얻는 것은 극한값을 계산하는 과정이지, 원래 함수의 함숫값 \(f(1)\)을 정하는 과정이 아니다.
계산 줄에 구멍의 위치를 먼저 표시하기
비슷한 식을 풀 때는 인수분해 전에 분모가 0이 되는 값을 따로 적는다.
\(x-1=0\Rightarrow x=1\), 따라서 \(x\ne1\)
그 다음에
\( \dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad(x\ne1) \)
처럼 조건을 끝까지 유지한다. 마지막에는 극한값 \(2\), 함숫값의 부재, 불연속 여부를 각각 나누어 적어야 한다.
새 계수에서 원래 식이 복원되는지 확인하기
다음 함수로 판단을 바꾸어 보자.
\( g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2} \)
먼저 \(x=2\)에서는 원래 식의 분모가 0이므로 \(x\ne2\)이다. 이후
\( g(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad(x\ne2) \)
가 된다. 따라서
\( \displaystyle\lim_{x\to2}g(x)=4 \)
이지만 \(g(2)\)는 정의되지 않으므로 \(x=2\)에 구멍이 생긴다. 또한 약분 결과에 제한 조건을 붙인 뒤 다시 곱해 보면
\( (x-2)(x+2)=x^2-4 \quad(x\ne2) \)
로 원래 분자가 복원된다. 이때도 \(x=2\)를 새로 정의한 것이 아니므로, 약분된 식의 값과 원래 함수의 함숫값을 혼동하지 않아야 한다.