김량장동 고3수학과외에서 좌표평면 조건을 다시 세운 사례
김량장동 생활권에서 통학하는 학생은 학교별 내신 운영과 주간 일정이 다를 수 있어, 수업에서는 진도보다 풀이 기록의 오류를 먼저 확인했다. 이번에는 좌표축과 평면의 관계를 혼동해 대칭점과 거리를 모두 잘못 구한 풀이를 고쳤다.
평면의 이름을 식으로 바꾸는 첫 단계
점 \(P(2,-1,3)\)을 \(xy\)평면에 대칭시킨 점과 \(yz\)평면까지의 거리를 구하는 문제였다.
학생은 풀이 첫 줄에 다음과 같이 적었다.
오답: \(xy\)평면은 \(x=0\)이므로 \(P\)의 대칭점은 \((-2,-1,3)\)이다.
이 식은 틀렸다. \(xy\)평면 위의 점은 \(z=0\)을 만족하므로 \(xy\)평면은 \(z=0\)이다. 따라서 \(xy\)평면에 대한 대칭에서는 \(x,y\)좌표를 그대로 두고 \(z\)좌표의 부호만 바꾼다.
정확한 대칭점은
\[ P'(2,-1,-3) \]
이다. 반면 \(x=0\)은 \(yz\)평면의 방정식이다. 따라서 학생은 평면 이름을 좌표 조건으로 바꾸는 최초 단계에서 오류를 냈다.
거리식에 조건을 대입해 확인하기
\(yz\)평면은 \(x=0\)이므로 점 \(P(2,-1,3)\)에서 \(yz\)평면까지의 거리는 \(x\)좌표의 절댓값이다.
\[ d=|2|=2 \]
학생은 대칭 과정에서 \(x\)좌표를 바꾸었기 때문에 거리도 \(0\)이라고 적었다. 그러나 \(P\)를 \(yz\)평면의 식에 대입하면
\[ x=2\ne0 \]
이므로 점 \(P\)는 평면 위에 있지 않다. 대칭점 \(P'(2,-1,-3)\)도 \(x=2\)이므로 같은 \(yz\)평면까지의 거리는 여전히 \(2\)이다.
지운 풀이 대신 오류의 종류를 남기는 방법
- 틀린 줄의 왼쪽 여백에 ‘평면 조건 혼동: \(xy\)평면을 \(x=0\)으로 씀’이라고 표시한다.
- 좌표평면을 다시 정리한다: \(xy:z=0\), \(yz:x=0\), \(zx:y=0\).
- 대칭시키는 평면의 좌표만 부호를 바꾼다.
- 대칭점이 평면에서 같은 수직거리를 갖는지 원래 거리식에 다시 대입한다.
이 과정을 적용하면 \(P(2,-1,3)\)과 \(P'(2,-1,-3)\)은 \(xy\)평면 \(z=0\)에서 각각 거리 \(3\)을 가지므로 대칭 조건도 만족한다.
조건을 바꾼 독립 검증
새로 점 \(Q(-3,4,2)\)를 \(yz\)평면에 대칭시키고 \(zx\)평면까지의 거리를 구했다.
\(yz\)평면은 \(x=0\)이므로 \(x\)좌표의 부호만 바꾼다.
\[ Q'(3,4,2) \]
\(zx\)평면은 \(y=0\)이므로 \(Q'\)에서 \(zx\)평면까지의 거리는
\[ d=|4|=4 \]
이다. \(Q\)와 \(Q'\)는 \(yz\)평면 \(x=0\)에서 각각 거리 \(3\)이고, \(y,z\)좌표가 같으므로 대칭 조건도 맞다. 숫자가 바뀌어도 평면의 방정식과 바뀌는 좌표를 먼저 연결하면 같은 오류를 피할 수 있다.