김량장동고1수학과외: 역함수 합성의 식과 정의역 함께 확인하기
용인시 처인구 김량장동에서 학교 프린트와 교과서 문제를 번갈아 풀 때, 역함수 문제는 계산식만 맞히고 정의역을 빠뜨리기 쉽다. 같은 처인구 통학권의 학교라도 주간 내신 일정과 과제량은 다를 수 있으므로, 짧은 풀이에서도 합성 결과가 성립하는 범위를 직접 표시하는 습관이 필요하다.
계산 결과는 맞아도 빠진 조건이 있다
다음 함수의 역함수를 구해 보자.
f(x) = (2x - 1)/(x + 3), 단 x ≠ -3
y = (2x - 1)/(x + 3)에서 x를 정리하면
y(x + 3) = 2x - 1
x(y - 2) = -1 - 3y
x = (1 + 3y)/(2 - y)
따라서
f-1(x) = (1 + 3x)/(2 - x), 단 x ≠ 2
그런데 실제 답안에는 역함수 식을 쓴 다음 곧바로 f(f-1(x)) = x라고 적혀 있었다. 입력값 x가 역함수의 정의역인 x ≠ 2인지 확인하지 않은 채 다음 줄의 계산으로 넘어간 것이다. 이는 역함수의 식은 계산할 수 있지만, 합성함수가 어느 값에서 정의되는지까지 연결하지 못한 상태를 보여 준다.
합성식의 x는 아무 값이나 될 수 없다
역함수에 x를 넣으려면 먼저 x가 f-1의 정의역에 있어야 한다. 위 함수에서 f의 치역은 2를 제외한 모든 실수이므로, 역함수의 정의역은 x ≠ 2이다.
x ≠ 2일 때 실제로 대입하면
f(f-1(x)) = f((1 + 3x)/(2 - x))
= [2(1 + 3x)/(2 - x) - 1] ÷ [(1 + 3x)/(2 - x) + 3]
분자를 정리하면 (8x)/(2 - x), 분모를 정리하면 8/(2 - x)이므로
f(f-1(x)) = [(8x)/(2 - x)] ÷ [8/(2 - x)] = x
단, 이 계산에서 2 - x가 0이 되면 역함수 자체를 입력할 수 없다. 따라서 정확한 서술은 x ≠ 2인 모든 x에 대하여 f(f-1(x)) = x이다.
답안에 넣을 한 줄을 풀이의 시작으로 바꾼다
합성함수 계산 전에 다음처럼 적게 한다.
f-1의 정의역은 f의 치역이므로 x ≠ 2에서 f(f-1(x))가 정의된다.
그 뒤에 식을 계산한다. 반대 방향인 f-1(f(x))를 확인할 때는 처음 함수의 정의역 조건인 x ≠ -3을 써야 한다. 즉 방향에 따라 확인할 조건도 달라진다. 역함수의 정의역과 원함수의 정의역을 같은 것으로 적으면 안 된다.
새 식에서 먼저 범위를 말할 수 있는지 확인한다
훈련 문제로
g(x) = (3x + 2)/(x - 4), 단 x ≠ 4
를 제시한다. 역함수는
y(x - 4) = 3x + 2
x(y - 3) = 4y + 2
g-1(x) = (4x + 2)/(x - 3)
이므로 역함수의 정의역은 x ≠ 3이다. 학생이 계산부터 시작하지 않고 “g-1을 입력하려면 x ≠ 3이어야 한다”고 먼저 말한 뒤,
g(g-1(x)) = [(3(4x + 2)/(x - 3) + 2)] ÷ [(4x + 2)/(x - 3) - 4] = x
를 x ≠ 3에서 확인하는지 본다. 같은 문제를 외운 것이 아니라, 계수가 바뀌어도 정의역을 먼저 찾는 행동이 나타나는지가 기준이다.
막힌 위치를 한 문장으로 구분하기
마지막에는 도형의 위치를 회전한 그림처럼 표현이 달라진 자료를 제시하고, “식은 세웠지만 입력값의 범위를 정하지 못했다”처럼 어디에서 막혔는지 한 문장으로 쓰게 한다. 이때 필요한 것이 중1 문자식·방정식·그래프의 불안정이라면 해당 선수개념을 짧게 보완하고, 역함수의 정의역 판단이 문제라면 현재 고1 합성함수 풀이를 계속 보완한다. 계산을 시작하기 전 조건을 말하는지가 두 경우를 가르는 확인점이다.