여수동고2수학과외에서 등비중항을 다룰 때는 가운데 항을 두 끝항의 산술평균으로 정하는지부터 살펴봐야 합니다. 중원구의 성일고등학교, 숭신여자고등학교 등은 여수동 소재 학교가 아니라 통학권 참고 학교이므로, 학교별 출제 경향을 단정하기보다 귀가 후 풀이 과정에서 비율을 직접 점검하는 것이 중요합니다.
2, x, 8에서 가운데 항을 5로 적은 이유
학생의 오답표에는 다음과 같이 기록되어 있었습니다.
2, x, 8이 등비수열이므로 x=(2+8)÷2=5
5는 산술중항에 해당하는 값입니다. 등비수열에서는 연속한 항의 비가 같아야 하므로
x²=2×8
을 사용해야 합니다. 따라서
x²=16, x=4 또는 x=-4
실제로 2, 4, 8은 공비가 2이고, 2, -4, 8은 공비가 -2입니다. 두 값 모두 등비수열 조건을 만족합니다. 반면 x=5를 대입하면 5÷2와 8÷5가 서로 달라 등비수열이 되지 않습니다.
비율을 계산하기 전에 보존해야 할 식
등비중항 문제에서 가운데 항을 바로 계산하지 말고, 먼저 세 항을 a, ar, ar²의 형태로 대응시키면 오류를 줄일 수 있습니다. 이 문제에서는
2= a, x=ar, 8=ar²
이므로 가운데 항을 제곱하면 양 끝 항의 곱이 됩니다.
x²=(ar)²=a·ar²=2×8
학생은 재풀이에서도 산술평균을 적은 뒤 계산 결과만 확인하려 했습니다. 앞으로는 답을 쓰기 전에 x²=첫째 항×셋째 항을 한 줄 남기고, 얻은 후보를 원래 세 항에 각각 대입해 공비를 확인해야 합니다.
부호가 바뀌어도 같은 기준을 적용하기
새 문제로 다음을 제시했습니다.
-2, x, -8이 등비수열일 때 x의 값을 구하여라.
먼저 등비중항 관계를 적으면
x²=(-2)×(-8)=16
따라서 x=4 또는 x=-4입니다. 실제로 -2, 4, -8의 공비는 -2이고, -2, -4, -8의 공비는 2입니다.
이번에는 앞 문제의 숫자나 풀이를 보여주지 않고, 학생이 스스로 양 끝 항의 곱을 적는지 확인합니다. 산술평균을 먼저 계산하지 않고, 두 후보의 부호를 모두 남긴 뒤 연속한 항의 비까지 대조하면 등비중항의 조건을 새로운 부호에서도 적용한 것으로 판단할 수 있습니다.