여수동 고3 수학과외: 신뢰구간의 첫 오류 찾기
여수동에서 통학하는 고3 학생은 성일고등학교, 숭신여자고등학교 등 중원구 내 학교의 시험 준비와 귀가 뒤 과제 시간을 함께 조정하고 있다. 최근에는 신뢰구간 문제를 풀 때 해설의 결론만 옮기지 않고, 중간식에서 조건이 처음 어긋난 지점을 찾는 연습을 진행했다.
표준오차를 빠뜨린 순간
모집단의 표준편차가 8, 표본의 크기가 64, 표본평균이 72일 때 모평균의 95% 신뢰구간을 구하는 문제를 풀었다. 표준정규분포의 상위 2.5% 경계값을 1.96으로 두면 표준오차는
표준오차 = \(\dfrac{8}{\sqrt{64}}=1\)
이어 신뢰구간은
72-1.96\times1 \leq \mu \leq 72+1.96\times1
이므로 70.04≤μ≤73.96이다.
학생이 처음 적은 식은 다음과 같았다.
72-1.96×8≤μ≤72+1.96×8, 따라서 56.32≤μ≤87.68
이 식은 오답이다. 모집단 표준편차 8을 그대로 사용하고 \(\sqrt{64}\)로 나누는 표본 크기 조건을 빠뜨렸기 때문이다. 첫 불일치는 표준오차를 계산하지 않고 8을 오차항에 바로 넣은 줄에서 발생한다.
첫 불일치를 표시하고 원자료로 되돌리기
- 틀린 줄 표시: \(1.96\times8\)에 밑줄을 긋고 “표본 크기 반영 누락”이라고 적는다.
- 조건 확인: 표본평균의 변동을 다루므로 오차항은 표준편차가 아니라 \(\sigma/\sqrt n\)이어야 함을 확인한다.
- 식 수정: \(8/\sqrt{64}=1\)을 먼저 계산한 뒤 \(72\pm1.96\)으로 고친다.
- 재대입: 하한과 상한의 중간값이 \((70.04+73.96)/2=72\)인지 확인한다.
또한 표준화한 값을 원자료 단위로 되돌려 확인했다. \((73.96-72)/1=1.96\), \((70.04-72)/1=-1.96\)이므로 양쪽 경계가 평균에서 같은 거리임을 검산할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 표본평균 68, 모집단 표준편차 10, 표본 크기 100인 모집단의 90% 신뢰구간을 구했다. 90% 신뢰수준의 임계값을 1.645로 두면
\(\dfrac{10}{\sqrt{100}}=1\)
따라서
68-1.645\leq\mu\leq68+1.645
이고, 구간은 66.355≤μ≤69.645이다. 학생은 하한과 상한을 계산한 뒤 반드시 66.355<69.645인지 비교하고, 두 값의 평균이 \((66.355+69.645)/2=68\)인지 확인했다. 표본 크기와 신뢰수준을 바꿔도 표준오차, 양 끝점, 원자료 재대입의 순서가 유지되는지 검증한 것이다.