여수동고1수학과외, 대응점으로 평행이동 벡터 찾기
여수동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 성남시 중원구의 성일고등학교·숭신여자고등학교 등 통학권 학교의 프린트와 과제를 참고할 때도 자녀의 귀가 시각과 시험 준비 순서를 함께 살피는 편이 좋다. 도형의 이동에서는 계산보다 먼저 이동 전후의 같은 점을 찾아야 한다.
첫 줄을 건너뛰면 벡터가 달라진다
삼각형의 한 꼭짓점이 \(A(1,-2)\)에서 \(A'(4,3)\)으로 이동했다고 하자. 점 \(A\)의 대응점이 \(A'\)이므로 이동벡터는
\(\overrightarrow{AA'}=(4-1,\;3-(-2))=(3,5)\)
이다. 따라서 평행이동식은 \(x'=x+3,\;y'=y+5\)가 된다. 예를 들어 \(B(-2,1)\)은 \(B'(1,6)\)으로 옮겨진다.
학생의 답안에는 \(A\)와 \(A'\)를 대응시키는 기록 없이 곧바로 “\(x'=x+4,\;y'=y+3\)”이라고 적혀 있었다. 이는 \(A'\)의 좌표를 이동량으로 잘못 읽은 식이며, 정답 풀이가 아니다.
점의 좌표와 이동량을 같은 것으로 보지 않기
이 학생은 익숙한 계산 방식으로 다음 줄을 이어 갔지만, 현재 상태는 이동 전후의 점을 연결해 벡터를 찾는 판단이 빠진 상태다. 좌표 \((4,3)\)은 도착점의 위치이고, 이동벡터 \((3,5)\)는 두 좌표의 차이다. 출발점의 \(x\)좌표와 \(y\)좌표를 각각 빼야 하므로 좌표 순서도 바뀌면 안 된다.
확인은 \(A+(3,5)=(1+3,-2+5)=(4,3)\)으로 할 수 있다. 이처럼 원래 점에 벡터를 더해 도착점이 나오는지 확인하면 계산 결과와 대응 관계를 동시에 점검할 수 있다.
풀이 전후에 대응 관계를 표시하는 연습
훈련할 때는 같은 문장을 외우기보다 실제 풀이에 표시를 남긴다. 문제를 읽은 직후 \(A\rightarrow A'\)처럼 한 쌍을 적고, 계산을 끝낸 뒤에도 \(A+(p,q)=A'\)인지 다시 쓴다. 위 문제에서는
- 풀이 전: \(A(1,-2)\rightarrow A'(4,3)\)
- 벡터 계산: \((p,q)=(4-1,3+2)=(3,5)\)
- 풀이 후: \((1,-2)+(3,5)=(4,3)\)
라는 순서가 된다. 두 번의 확인이 있어야 도착점 좌표를 이동량으로 바로 옮겨 적는 행동을 줄일 수 있다.
도형 전체를 옮길 때도 한 점에서 시작하기
삼각형 \(ABC\)가 \(A'(4,3)\), \(B'(1,6)\)을 갖는다면 \(A\)와 \(A'\)에서 얻은 \((3,5)\)를 먼저 적용한다. \(B(-2,1)\)에 더하면 \(B'=(-2+3,1+5)=(1,6)\)이므로 두 대응점이 일치한다. 한 점으로 구한 벡터가 다른 점에도 맞는지 확인하면 도형 전체가 같은 평행이동을 했는지 판단할 수 있다.
조건이 회전 그림으로 바뀌었을 때의 확인
이후에는 도형의 위치를 회전한 그림으로 바꾸어, 전개도의 배치가 달라져도 마주 보는 면과 이웃한 면을 다시 추적하는지 살핀다. 이 문제에서는 좌표 이동벡터를 억지로 적용하지 않고, 기준 면을 하나 정한 뒤 각 면의 공통 변을 따라 이웃 관계를 기록해야 한다.
서술형 답안은 식, 근거, 결론으로 나누어 확인한다. 예를 들어 “면 ㄱ과 면 ㄴ은 공통 변을 가지므로 이웃한 면이다”처럼 관계를 적고, 전개도를 접었을 때 서로 맞닿지 않는 두 면은 마주 보는 면이라고 근거를 남겨야 한다. 그림의 배치가 달라져도 대응 대상을 먼저 찾고, 그 결과를 식과 문장으로 검증하는지가 판단 기준이다.