황학동고2수학과외

150°를 단위원의 라디안 각으로 바꾸는 순간

황학동고2수학과외 수업에서 삼각함수 식을 풀던 중, 학생의 계산에는 다음 두 줄이 나란히 남았다.

두 결과의 차이는 기호 하나지만, 삼각함수에서는 그 π가 각의 단위를 결정한다. 단위원에서 한 바퀴는 360°이면서 2π라디안이므로

180° = π, 따라서 θ° = θπ/180이다. 150°는 180°보다 작은 각이므로 라디안으로는 5π/6이고, 단위원의 제2사분면에 해당한다. 따라서 사인값은 양수, 코사인값은 음수라는 부호 판단도 함께 유지되어야 한다.

단위원에서 각의 위치와 부호를 먼저 맞추기

예를 들어

sin 150° + cos 150°

를 계산할 때 각을 먼저 라디안으로 표현하면

150° = 5π/6

이고, 단위원의 좌표 관계에서

sin 150° = 1/2,   cos 150° = -√3/2

이므로

sin 150° + cos 150° = (1 - √3)/2

가 된다. 학생처럼 150°를 5/6으로 바꾸면 단위원에서 어느 위치를 가리키는지 설명할 수 없고, 각의 크기와 좌표의 대응도 끊어진다. 기본 각의 값을 외운 뒤에도 도 단위인지 라디안 단위인지 확인해야 하는 이유다.

계수와 부호가 바뀐 식에서 수정 행동 고정하기

수정 훈련에서는 같은 식을 반복하지 않고 다음처럼 조건을 바꾼다.

2cos 150° - 3sin 150°

답안 첫 줄에 단위 변환을 따로 남긴다.

150° = 150π/180 = 5π/6

그다음 제2사분면의 부호를 확인하여

2cos 150° - 3sin 150°
= 2(-√3/2) - 3(1/2)
= -√3 - 3/2

로 계산한다. 변환식에서 π를 누락하지 않았는지, 코사인과 사인의 부호가 각의 위치와 맞는지를 한 줄씩 대조한다.

시간 제한 없이 새로운 각에서 확인하기

마지막에는 풀이 속도보다 첫 판단의 정확성을 확인하기 위해

sin 210° - cos 210°

을 제시한다. 학생이 먼저

210° = 210π/180 = 7π/6

을 적고, 제3사분면에서 사인과 코사인이 모두 음수임을 반영해야 한다.

따라서

sin 210° - cos 210°
= -1/2 - (-√3/2)
= (√3 - 1)/2

이다. 이 과정에서 도 단위에서 라디안으로 바꿀 때 π를 남기는 행동과 단위원의 사분면 부호를 다시 확인하는 행동이 자연스럽게 나타나는지를 본다.