황학동 고3수학과외: 구간을 나누기 전 조건부터 읽는 정적분 훈련
황학동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 장충고등학교·성동고등학교·환일고등학교·이화여자고등학교·이화여자외국어고등학교 등 같은 중구의 통학권 참고 학교와 학생별 주간 학습 일정에 맞춰 풀이 습관을 점검한다. 이 학생은 계산보다 문제의 조건을 먼저 해석하는 자립성이 필요한 단계였다.
세 구간의 합을 부호까지 보존하기
학생은 다음 조건에서 해설을 찾기 전까지 풀이를 멈췄다.
\[ \int_{-2}^{1}f(x)\,dx=3,\qquad \int_{1}^{4}f(x)\,dx=-5,\qquad \int_{4}^{5}f(x)\,dx=2 \]
구하는 값은
\[ \int_{-2}^{5}f(x)\,dx \]이다. 학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\[ \int_{-2}^{5}f(x)\,dx =3-(-5)+2=10 \]
이 식은 오답이다. 정적분의 덧셈 성질은 구간을 나눈 순서대로 대수적으로 더하는 것이므로, 두 번째 적분값이 음수라는 이유로 다시 빼면 안 된다.
\[ \int_{-2}^{5}f(x)\,dx =\int_{-2}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{4}f(x)\,dx+\int_{4}^{5}f(x)\,dx \] \[ =3+(-5)+2=0 \]별표와 역계산으로 틀린 줄을 찾기
학생은 틀린 줄 앞에 별표를 표시한 뒤, 전체 적분을 세 부분으로 나누는 기준점이 \(1,4\)인지 먼저 확인했다. 그다음 각 구간의 방향이 모두 왼쪽에서 오른쪽인지 살폈다. 방향이 바뀌었다면
\[ \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx \]를 적용해야 하지만, 이 문제의 세 구간은 모두 같은 방향이었다. 따라서 두 번째 값 \(-5\)는 이미 함수의 부호가 반영된 결과이다.
역계산으로도 확인했다.
\[ 0-2-(-5)=3 \]전체값 \(0\)에서 세 번째 구간을 빼고 두 번째 구간을 빼면 첫 번째 구간의 값 \(3\)이 복원된다. 이 검산으로 학생은 ‘음수 적분값을 더하는 것’과 ‘음수값을 다시 빼는 것’을 구별했다.
절댓값의 영점을 기준으로 새 조건 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.
\[ \int_{-3}^{2}|x+1|\,dx \]절댓값 안의 식이 \(0\)이 되는 지점은 \(x=-1\)이므로 구간을 나눈다.
\[ \int_{-3}^{2}|x+1|\,dx =\int_{-3}^{-1}-(x+1)\,dx+\int_{-1}^{2}(x+1)\,dx \] \[ =\left[-\frac{x^2}{2}-x\right]_{-3}^{-1} +\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{2} =2+\frac92=\frac{13}{2} \]학생은 절댓값의 영점인 \(-1\)을 먼저 표시하고, 왼쪽 구간에서는 \(x+1\le0\), 오른쪽 구간에서는 \(x+1\ge0\)임을 확인했다. 마지막으로 \(|x+1|\ge0\)이므로 적분값이 양수여야 한다는 부호 검산까지 수행해 잘못된 후보를 제거했다.