황학동고1수학과외, 짝수·홀수 수 만들기의 마지막 자리 판단
황학동 지역에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 중구 내 장충고등학교·성동고등학교·환일고등학교 등 통학권 참고 학교의 교과서와 프린트에 대응하는 학습 장면으로 살펴본다. 학교별 주간 일정과 내신 자료의 표현은 다를 수 있지만, 경우의 수에서 짝수와 홀수를 구분하는 기준은 변하지 않는다.
답안에서 빠진 한 줄: 일의 자리 선택
학교 프린트에 “1, 2, 4, 5, 7을 중복 없이 사용하여 세 자리 짝수를 만들 때, 만들 수 있는 수의 개수”가 제시되었다. 학생은 시간 제한이 생기자 다음처럼 적었다.
백의 자리 5가지, 십의 자리 4가지이므로 5×4=20
이 계산은 세 자리 수를 만드는 전체 배치 수 중 일부를 센 것이 아니라, 짝수라는 조건을 확인하지 않은 결과다. 짝수의 일의 자리는 반드시 2 또는 4여야 하므로 마지막 자리부터 정해야 한다.
짝수와 홀수 조건은 마지막 자리에서 결정된다
일의 자리가 2인 경우 남은 숫자는 1, 4, 5, 7이다. 백의 자리는 네 가지 중 하나를 고르고, 십의 자리는 남은 세 가지 중 하나를 고르므로
4×3=12
가지이다. 일의 자리가 4인 경우도 같은 방식으로
4×3=12
가지가 나온다. 따라서 전체 개수는
12+12=24
가지이다. 일의 자리를 먼저 정하면 뒤의 두 자리는 남은 숫자에서 배열하면 되므로, 짝수 조건과 중복 사용 금지 조건이 동시에 반영된다.
시간이 줄어들수록 계산보다 조건 표시가 먼저다
이 학생은 시간 제한이 생기면 확인 표시를 생략하고 곧바로 곱셈을 시작했다. 혼자 풀 때도 “짝수이므로 마지막 자리부터 결정한다”는 판단을 말로 확인하지 않았다. 따라서 경우의 수 계산 능력 전체가 부족하다고 보기보다, 조건을 배열의 어느 위치에 적용해야 하는지 결정하는 단계가 답안에서 빠진 상태로 볼 수 있다.
풀이를 시작할 때 빈칸에 일의 자리: 2 또는 4라고 먼저 적게 한다. 그 뒤 각 경우를 나누어 남은 자리의 선택 수를 기록한다. 홀수 조건이라면 일의 자리가 1, 5, 7 중 하나라는 식으로 같은 위치를 먼저 고른다.
새 수치로 마지막 자리 판단을 다시 확인하기
다음 문제에서는 숫자 0, 3, 6, 7, 8을 중복 없이 사용하여 네 자리 홀수를 만드는 경우를 다룬다. 홀수의 일의 자리는 3 또는 7 중 하나다.
- 일의 자리가 3인 경우: 천의 자리는 0이 될 수 없으므로 6, 7, 8 중 3가지, 나머지 두 자리는 3×2가지
- 일의 자리가 7인 경우: 천의 자리는 3, 6, 8 중 3가지, 나머지 두 자리는 3×2가지
따라서 개수는 3×3×2+3×3×2=36이다. 여기서도 일의 자리를 먼저 선택하지 않으면 홀수 조건을 놓치거나, 천의 자리에 0을 포함하는 오류가 생길 수 있다. 학생이 이 새 문항에서도 먼저 일의 자리 후보를 적고, 0의 위치 제한까지 스스로 표시하는지 확인한다.
표현이 달라진 프린트에서 막힌 지점을 남기기
교과서와 다른 표현의 학교 프린트가 나오면 즉시 답을 알려 주지 않고 정해 둔 문항 체류시간까지 조건을 표시하게 한다. 바로 해결되지 않으면 해당 문제를 보류하고 뒤의 해결 가능한 문제로 이동하는지도 살핀다.
문제를 다시 돌아온 뒤에는 “홀수 조건을 어느 자리에 적용해야 하는지 결정하지 못했다” 또는 “일의 자리를 정했지만 천의 자리에서 0을 제외하지 못했다”처럼 막힌 지점을 한 문장으로 기록한다. 정답만 맞혔는지가 아니라, 새로운 수와 표현에서도 마지막 자리부터 결정하는 행동이 재현되는지를 기준으로 풀이를 확인한다.