중화동고2수학과외: 제3사분면에서 sin과 cos의 부호를 다시 확인하는 풀이
“제3사분면이니까 두 값 모두 양수입니다.”
중화고등학교 내신 문제를 풀던 학생의 답안에 적힌 문장이다. 중화동한신아파트처럼 학교와 주거지가 가까운 경우에도, 귀가 후 제한된 시간 안에 풀이를 이어가다 보면 직전 문제의 절차를 그대로 적용하는 장면이 나타날 수 있다. 이때 필요한 것은 풀이를 처음부터 다시 쓰는 일이 아니라, 부호를 결정해야 했던 지점으로 돌아가는 것이다.
cos θ와 sin θ의 부호가 동시에 양수가 될 수 없는 이유
문제의 조건이 다음과 같다고 하자.
θ가 제3사분면의 각이고 cos θ = -3/5일 때, sin θ와 tan θ의 값을 구하여라.
학생은 직전 예제의 식을 따라
sin θ = 4/5, tan θ = 4/(-3) = -4/3
이라고 적었다. 제3사분면에서 cos θ의 음수 부호는 반영했지만, sin θ에는 양의 값만 남긴 것이다. 그러나 제3사분면에서는 x좌표와 y좌표가 모두 음수이므로
- sin θ < 0
- cos θ < 0
- tan θ > 0
이어야 한다. 따라서 cos θ = -3/5에서 sin²θ = 1 - cos²θ = 16/25이고, 제3사분면 조건에 맞는 값은
sin θ = -4/5
이다. 그러므로
tan θ = sin θ / cos θ = (-4/5)/(-3/5) = 4/3
가 정확한 답이다. 제3사분면에서 sin과 cos를 모두 양수로 적은 것은 단순한 계산 실수가 아니라, 단위원의 y좌표와 x좌표가 각각 어떤 부호를 갖는지 확인하지 않은 데서 시작된 오류다.
오류가 시작된 줄부터 단위원 기준을 끼워 넣기
재풀이에서는 앞의 식을 모두 지우고 반복하지 않는다. 부호를 적은 줄 바로 옆에 다음 기준을 먼저 표시한다.
제3사분면: x < 0, y < 0 → cos θ < 0, sin θ < 0
그 다음 크기만 계산한다.
sin²θ = 1 - (-3/5)² = 16/25
이제 √(16/25) = 4/5라는 크기에 제3사분면의 부호를 붙여 sin θ = -4/5로 확정한다. 마지막으로 sin과 cos의 부호가 모두 음수이므로 tan θ는 양수인지 대조한다. 이처럼 부호표시 → 크기 계산 → 삼각비 관계 확인의 순서를 답안에 남겨야 한다.
분수 조건으로 바꾼 제3사분면 검산
다음 문항에서는 수치를 바꾸어 확인한다.
θ가 제3사분면의 각이고 sin θ = -5/13일 때, cos θ와 tan θ의 값을 구하여라.
먼저 제3사분면이므로 cos θ도 음수임을 적는다.
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - 25/169 = 144/169
따라서 cos θ = -12/13이고,
tan θ = (-5/13)/(-12/13) = 5/12
이다. 여기서 제3사분면의 기준을 잊고 cos θ = 12/13으로 쓰거나, tan θ를 -5/12로 쓰면 이전 오답 행동이 다시 나타난 것이다. 새 문제에서도 부호를 먼저 적었는지, 제곱근 결과에 사분면의 부호를 적용했는지, 마지막 삼각비의 부호를 다시 대조했는지를 확인한다.
중화동 안에서도 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 풀이를 이어가는 방식은 달라질 수 있다. 그러나 사분면이 바뀌고 분수와 정수가 섞여도 x좌표와 y좌표의 부호를 먼저 연결하는 행동이 유지되어야 삼각함수의 정의를 실제 문제에 적용했다고 볼 수 있다.