중화동고3수학과외

중화동 고3수학과외: 치환 방향이 바뀐 정적분의 구간 처리

중화동에서 공부하는 고3 학생은 중화고등학교와의 거리, 중화동한신아파트 등 주거지에서 이동하는 시간에 따라 수학 문제를 정리할 수 있는 시간이 달라진다. 같은 중랑구의 태릉고등학교·송곡고등학교·신현고등학교·면목고등학교는 참고 생활권으로만 구분하고, 학생별 학습 리듬에 맞춰 짧은 시간에도 풀이의 핵심 조건을 기록하도록 했다.

구간을 바꾸지 않은 치환적분의 오류

학생이 다음 적분을 풀었다.

∫₋₁²|3−2x|dx

치환을 u=3−2x로 두면 dx=−du/2이다. 이때 원래 구간의 양 끝도 함께 변해야 한다.

• x=−1일 때 u=5
• x=2일 때 u=−1

학생의 오답은 다음과 같았다.

∫₋₁²|3−2x|dx = 1/2∫₅⁻¹|u|du = −13/2

이 식은 오답이다. dx=−du/2의 음수와 역방향 구간을 동시에 처리하면서 부호를 잘못 정리했기 때문이다. 정확한 식은

∫₋₁²|3−2x|dx = −1/2∫₅⁻¹|u|du = 1/2∫₋₁⁵|u|du

이다. 절댓값의 영점은 3−2x=0에서 x=3/2이므로 직접 구간을 나누어도 검산할 수 있다.

∫₋₁^3/2(3−2x)dx + ∫_3/2²(2x−3)dx = 25/4+1/4=13/2

틀린 줄을 찾아 다시 계산하는 과정

학생은 답안에서 부호가 바뀐 줄에 표시한 뒤, 먼저 변수 관계와 구간을 표로 적었다.

• 변수 관계: u=3−2x, dx=−du/2
• 구간 관계: x:−1→2, u:5→−1
• 식 수정: −1/2∫₅⁻¹|u|du를 1/2∫₋₁⁵|u|du로 정리
• 검산: u=0을 기준으로 나누어 넓이와 계산값 비교

그래프에서는 y=|3−2x|가 x=3/2에서 x축을 만나며, 구간 [−1,2]에서 그래프가 x축 아래로 내려가지 않는다. 따라서 정적분값이 음수가 될 수 없다는 점도 즉시 확인했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 공식을 반복하지 않도록 다음 문제를 새로 제시했다.

∫₋₂³|5−3x|dx

u=5−3x로 두면 dx=−du/3이고, x=−2에서 u=11, x=3에서 u=−4이다.

∫₋₂³|5−3x|dx = 1/3∫₋₄¹¹|u|du

= 1/3(∫₋₄⁰−u du + ∫₀¹¹u du)

= 1/3(8+121/2)=137/6

원래 변수에서도 영점은 x=5/3이다. 왼쪽 삼각형 넓이는 121/6, 오른쪽 삼각형 넓이는 8/3이므로 합은 137/6이다. 치환이 역방향이어도 구간과 미분계수의 부호를 함께 확인하면 같은 개념을 새로운 조건에 정확히 적용할 수 있다.