신내동고2수학과외: 사분면 부호를 계산 줄에서 바로잡는 삼각함수 풀이
신내능마을이나 신내4단지·신내6단지처럼 귀가 동선이 다른 생활권에서는 같은 고2 수학 학습도 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라진다. 그래서 긴 문제를 많이 풀기보다, 한 줄의 부호가 어디서 바뀌었는지 확인하는 과정이 중요하다. 신내동 주소에 고등학교가 확인된 것은 아니며, 태릉고·송곡고·신현고·중화고·면목고 등 중랑구 내 학교의 통학권을 참고할 수 있다.
제3사분면에서 sin과 cos를 모두 양수로 적은 줄
오답표에는 다음 문제가 기록되어 있었다.
점 P(-3, -4)가 동경 위의 점일 때 sin θ와 cos θ를 구하여라.
학생은 먼저 원점에서 점까지의 거리를
r = √((-3)²+(-4)²) = 5
로 계산했다. 여기까지는 맞았지만, 다음 줄에
sin θ = 4/5, cos θ = 3/5
라고 적었다. 절댓값만 계산한 뒤 제3사분면의 부호를 반영하지 않은 것이다.
부호가 틀어진 지점에서 풀이를 이어가기
삼각함수의 정의는 좌표의 부호를 포함한다.
sin θ = y/r, cos θ = x/r
따라서 P(-3, -4)를 대입하면
sin θ = -4/5, cos θ = -3/5
제3사분면에서는 x와 y가 모두 음수이므로 cos θ와 sin θ가 모두 음수여야 한다. 학생이 쓴 4/5, 3/5는 길이의 비만 나타내며, 해당 각의 삼각함수값으로는 사용할 수 없다. 오답을 고칠 때 처음부터 좌표와 거리 계산을 반복하지 않고, 부호를 절댓값으로 바꾼 줄에서 멈춘 뒤 그 줄부터 이어서 수정하게 했다.
사분면 표시 후 부호를 붙이는 짧은 훈련
다음과 같이 계산 전에 좌표와 사분면을 한 줄로 표시한다.
P(-3,-4) → 제3사분면 → x<0, y<0
그다음 정의에 따라
cos θ = x/r = -3/5
sin θ = y/r = -4/5
처럼 좌표를 그대로 분자에 넣는다. 정답을 먼저 고쳐 쓰는 대신, 부호가 바뀐 계산 줄에 표시를 남겨야 같은 오류가 다시 나타났을 때 원인을 추적할 수 있다.
끝점이 포함될 때도 제3사분면으로 단정하지 않기
조건을 바꾸어 π < θ ≤ 3π/2인 경우를 살펴본다. 열린 구간 안쪽인 π < θ < 3π/2에서는 제3사분면이므로 sin θ와 cos θ가 모두 음수이다.
하지만 닫힌 끝점 θ = 3π/2에서는
sin(3π/2) = -1, cos(3π/2) = 0
이다. 따라서 끝점까지 포함된 조건에서는 cos θ를 음수라고 쓰면 안 된다. 각의 범위에 표시된 열린점과 닫힌점을 확인하고, 끝점에서는 좌표축 위의 값으로 따로 판정하는지 확인한다.