신내동고3수학과외

신내동 고3수학과외: 치환적분에서 첫 오류 찾기

신내동에서는 신내능마을과 신내6단지, 신내4단지아파트 등 주거지에 따라 통학과 자습 시간이 달라질 수 있다. 태릉고등학교, 송곡고등학교, 신현고등학교, 중화고등학교, 면목고등학교는 같은 중랑구 통학권의 참고 학교로 보고, 학생의 실제 공부 리듬에 맞춰 풀이 과정을 점검했다.

끝점 변환을 생략한 풀이

학생은 다음 정적분을 치환적분으로 풀었다.

∫₀¹ 2x/(x²+1) dx

u=x²+1, du=2x dx로 두는 것까지는 정확했다. 그러나 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

u=x²+1
x=0일 때 u=0, x=1일 때 u=1
∫₀¹ du/u = [ln|u|]₀¹

이 식은 오답이다. u=x²+1이므로 x=0에서 u=1, x=1에서 u=2이다. 원래 구간의 끝점을 새 변수에 맞게 바꾸지 않고 x의 값 0, 1을 그대로 사용한 것이 첫 오류다. 따라서 마지막 부호만 바꾸어도 해결되지 않으며, ∫₀¹du/u는 애초에 원래 정적분과 다른 적분이다.

조건을 식에 남기는 수정 과정

• 틀린 줄에 밑줄을 긋고 “x의 끝점을 u의 끝점으로 바꾸지 않음”이라고 표시한다.
• 치환식 u=x²+1에 원래 양 끝값을 각각 대입한다.
• x=0이면 u=1, x=1이면 u=2이므로 적분구간을 다시 쓴다.
• ∫₁²du/u=[ln u]₁²=ln2로 계산한다.
• 원래 함수가 0≤x≤1에서 양수이므로 정적분값이 양수인지 확인한다. ln2>0이므로 부호도 맞다.

학생은 답지를 본 뒤 마지막 부호만 바꾸는 대신, 끝점 옆에 “x=0→u=1”, “x=1→u=2”를 직접 적었다. 이후 계산한 값 ln2를 원시함수 ln(x²+1)에 대입해 ln2-ln1=ln2인지 역검산했다.

새 구간에서 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제의 조건을 바꾸었다.

∫_-1² 3x²/(x³+5) dx

u=x³+5, du=3x²dx로 두면 새 경계는 x=-1에서 u=4, x=2에서 u=13이다.

따라서

∫₄¹³du/u=[ln u]₄¹³=ln13-ln4=ln(13/4)

이다. 이번에는 대칭구간으로 착각하지 않고 -1과 2를 각각 대입했으며, 원식의 원시함수 ln(x³+5)에 대입해 ln13-ln4가 같은 결과인지 확인했다.