신내동고1수학과외, 겹치지 않는 경우 나누기로 경우의 수 세기
경우의 수에서 계산식보다 먼저 확인할 것은 각 경우가 서로 다른 대상을 세고 있는지 여부다. 신내동 주거지에서 귀가 시간이 서로 다른 학생이라도 학교 프린트와 문제집의 표현이 달라지면 이 판단을 놓치기 쉽다. 특히 답을 구한 뒤 범위나 부호를 따로 점검하지 않는 학생은 경우가 겹친 채 다음 줄로 넘어가는 모습을 보인다.
두 조건을 그대로 더하면 같은 대상을 두 번 센다
1부터 30까지의 자연수 중 2의 배수 또는 3의 배수인 수의 개수를 구해 보자.
2의 배수는 15개, 3의 배수는 10개이므로 이를 단순히 더하면
15+10=25
가 된다. 그러나 6의 배수인 수는 두 조건에 모두 해당한다. 6, 12, 18, 24, 30의 5개가 두 번 세어졌으므로 실제 답은
15+10-5=20
이다. 이 방식은 맞지만, 답안에서 경우가 서로 겹치지 않는지 직접 드러나지 않는다.
나눈 경우를 처음부터 서로 배타적으로 만들기
같은 문제를 다음처럼 나누면 중복을 피할 수 있다.
- 첫째 경우: 2의 배수인 수
- 둘째 경우: 2의 배수가 아니면서 3의 배수인 수
첫째 경우는 15개다. 둘째 경우의 3의 배수 10개에서 2의 배수인 6의 배수 5개를 제외하면 5개가 남는다. 따라서 전체 개수는
15+5=20
이다. 첫째 경우와 둘째 경우에는 동시에 속하는 수가 없다. 학생이 경우를 나눈 직후 “이 두 조건에 함께 들어가는 대상이 있는가?”라고 말로 확인하는 습관이 필요한 이유다.
답안에서 빠진 한 줄이 만든 오답
관찰된 풀이에서는 “2의 배수인 경우 15개, 3의 배수인 경우 10개”라고 적은 뒤 바로 25를 답으로 썼다. 경우를 나누었을 때 서로 겹치는지 확인하는 단계가 빠진 것이다. 이는 계산 능력의 문제가 아니라, 나눈 범주가 전체를 중복 없이 덮는지 확인하지 않은 상태에 가깝다.
경우를 나눈 뒤에는 각 경우의 조건을 한 줄씩 다시 읽고, 같은 대상이 두 경우에 동시에 들어갈 수 있는지 확인한다.
새 수치에서 먼저 겹침을 검사하는 연습
1부터 40까지의 자연수 중 4의 배수 또는 5의 배수인 수를 세어 보자. 4의 배수는 10개, 5의 배수는 8개이며, 두 조건에 모두 해당하는 20의 배수는 2개다. 따라서 답은
10+8-2=16
이다. 또는 “4의 배수”와 “4의 배수가 아니면서 5의 배수”로 나누면 둘째 경우는 8-2=6개이므로 10+6=16이 된다. 학생이 숫자 계산보다 먼저 두 경우의 공통 부분을 찾는지 확인한다.
표현이 바뀌어도 같은 판단을 찾아내기
문제집에서 조건을 “4의 배수이거나 5의 배수”라고 쓰고, 학교 프린트에서 두 영역이 겹친 그림으로 제시해도 같은 개념으로 연결해야 한다. 그림을 회전해 놓았더라도 두 영역의 겹친 부분은 변하지 않는다. 따라서 위치나 표현이 바뀐 새 도형을 보았을 때도 각 영역에만 속하는 부분과 공통 부분을 구분하고, 공통 부분을 두 번 더하지 않는지 확인한다.
신내능마을이나 신내6단지처럼 귀가 동선에 따라 확보되는 시간이 다른 경우에는 긴 풀이보다 한 문제의 경우 구분을 말로 설명하게 하는 짧은 점검이 효과적이다. 이때 해결한 문제를 복습 목록에서 곧바로 제외하지 않고, 표현과 그림이 달라진 문항에서도 겹치지 않는 경우를 먼저 찾아내는지 확인한 뒤 마무리한다.