상봉동중2수학과외, 이등변삼각형의 조건을 그림에서 찾아내는 연습
상봉동에서 중2 수학을 공부할 때 삼각형의 성질은 공식을 외우는 것보다 그림 속 조건을 정확히 읽는 일이 먼저입니다. 특히 이등변삼각형 문제에서는 같은 변이 표시되어 있는데도 두 각의 위치만 보고 밑각을 정하거나, 그림이 기울어졌다는 이유로 익숙한 모양으로 바꾸어 해석하는 실수가 자주 나타납니다.
상봉중학교와 신현중학교가 상봉동에 있으며, 동원중학교·면목중학교·봉화중학교는 같은 중랑구의 참고 학교입니다. 학교별 시험 경향을 단정할 수는 없지만, 교과서 예제와 학교 프린트를 함께 확인하는 학습은 통학과 과제, 수행평가가 겹치는 시기에도 현행 문제를 놓치지 않는 데 도움이 됩니다.
보이는 각이 아니라 표시된 변부터 읽기
이등변삼각형의 핵심은 두 변의 길이가 같다는 조건입니다. 예를 들어 삼각형 ABC에서 AB=AC라면 밑변은 BC이고, 밑각은 ∠B와 ∠C입니다. 따라서 ∠B=∠C가 됩니다. 반대로 그림에서 두 각이 같다고 주어졌다면 그 두 각의 맞은편 변이 같다고 판단할 수 있습니다.
학생이 자주 하는 실수는 꼭짓점이 위에 있고 양옆 변이 비슷하게 보인다는 이유만으로 이등변삼각형이라고 정하는 것입니다. 실제 문제에서는 도형이 옆으로 누워 있거나, 같은 변 표시가 작게 들어가 있거나, 보조선 때문에 원래 삼각형의 모양이 바로 보이지 않을 수 있습니다.
그림의 모양은 참고 자료일 뿐이고, 풀이의 출발점은 길이 표시·각 표시·평행 표시 같은 문제의 조건이어야 합니다.
학교 프린트에서 나타나는 실제 막힘
예를 들어 삼각형 ABC에서 AB=AC이고 ∠B=52°일 때 ∠C를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 학생은 두 변이 같다는 표시를 확인하지 않고, 위쪽 각 A와 아래쪽 각 B가 비슷해 보인다는 이유로 ∠A=∠B라고 적습니다. 그 결과 ∠C를 52°로 잘못 쓰거나, 삼각형의 내각의 합을 이용하면서도 어떤 각이 같은지 근거를 남기지 않습니다.
또 다른 장면에서는 사각형의 한 변이 평행하다는 표시를 보고 곧바로 평행사변형이라고 답합니다. 그러나 한 쌍의 마주 보는 변이 평행하다는 조건만으로는 문제에서 요구하는 판별 조건을 충분히 확인하지 않은 것일 수 있습니다. 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 조건을 구분하려면 주어진 변과 각의 관계를 순서대로 확인해야 합니다.
막힌 문제를 줄이는 풀이 기록
첫 줄에는 도형의 이름과 꼭짓점을 그대로 적습니다. 그다음 같은 변은 AB=AC처럼 문자로 옮기고, 같은 각이나 평행선은 그림에 직접 표시합니다. 이등변삼각형이라면 ‘같은 변의 맞은편 각이 같다’고 짧게 근거를 쓴 뒤, ∠B=∠C와 같이 식으로 바꿉니다.
각도를 계산할 때는 한 번에 답만 쓰지 않고 ① 같은 변 확인 ② 같은 각 결정 ③ 삼각형의 내각의 합 적용 순서를 지킵니다. 예시 문제에서는 AB=AC, ∠B=52°이므로 ∠C=52°, 따라서 ∠A=180°-52°-52°=76°입니다. 이 과정에서 52°를 잘못된 각에 옮겼는지, 각의 합을 180°로 사용했는지 표시합니다.
사각형 문제에서는 ‘평행’, ‘같은 길이’, ‘직각’ 표시를 각각 다른 기호로 표시합니다. 조건을 하나 확인할 때마다 판별표에 체크하고, 조건이 부족하면 임의로 도형을 완성하지 않습니다. 피곤한 날에는 고난도 문제를 끝까지 붙잡기보다 현행 오답 한두 문제를 골라 조건 표시와 근거 문장까지 남기는 유지선을 정합니다.
상봉동 학생의 학습 장면
한 학생은 교과서 예제에서 이등변삼각형의 각을 잘 구했지만 학교 프린트의 회전된 그림에서 계속 틀렸습니다. 처음에는 친구들의 선행 속도를 따라가려고 새 문제를 많이 풀었고, 한 문제에 오래 매달린 뒤에도 풀이를 지우고 답만 다시 적었습니다. 오답을 살펴보니 계산보다 먼저 같은 변을 표시하지 않은 것이 원인이었습니다.
이후에는 문제를 받으면 30초 동안 숫자 계산을 하지 않고 꼭짓점 이름, 같은 변, 같은 각, 평행 여부만 표시했습니다. 틀린 문제에는 ‘보이는 모양으로 판단함’, ‘같은 변의 맞은편 각을 찾지 못함’, ‘사각형 판별 조건을 하나만 확인함’처럼 원인을 구분해 적었습니다. 수행평가가 있는 날에는 새 단원을 넓히지 않고 현행 오답 한두 문제의 조건과 근거만 다시 확인했습니다.
같은 문제를 벗어난 검증
연습이 끝난 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 그림 방향과 조건을 바꾼 문제를 사용합니다. AB=AC, ∠B=52°였던 문제를 AC=BC, ∠A=64°인 문제로 바꾸어 어느 두 각이 같은지 먼저 쓰게 합니다. 정답은 ∠A의 맞은편 변이 BC이고, AC=BC이므로 맞은편 각 ∠A와 ∠B가 같아 ∠B=64°입니다.
사각형도 마찬가지로 도형을 회전시키고, 평행 조건을 그림의 위아래가 아닌 좌우 변에 배치합니다. 학생이 같은 변과 각을 새로 표시하고 필요한 성질을 고르는지, 근거를 문장으로 남기는지 확인합니다. 마지막에는 학교 프린트와 문제집에서 표현은 다르지만 같은 이등변삼각형 또는 사각형 조건을 찾아 서로 묶어 설명하게 합니다.
상봉동중2수학과외에서 확인하는 부분
수업에서는 선행 진도보다 현재 학교 자료에서 어떤 조건을 놓치는지 먼저 봅니다. 학생이 답을 말하기 전에 그림에 같은 변·같은 각·평행 표시를 했는지 확인하고, 풀이가 끝나면 근거가 빠진 문장에 표시합니다. 중1 내용이 필요한 경우에도 각의 합이나 문자 읽기처럼 현재 문제를 막는 부분만 짧게 확인한 뒤 곧바로 중2 도형 문제로 돌아옵니다.
통학과 과제가 겹치는 시기에는 매일 많은 양을 정하기보다 ‘조건 표시 1문제, 근거가 있는 풀이 1문제, 새 그림 검증 1문제’처럼 수행 가능한 기준을 둡니다. 이렇게 하면 친구의 선행 속도보다 자신의 현행 풀이가 실제로 바뀌었는지 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
Q. 그림이 이등변삼각형처럼 보이면 바로 같은 각을 써도 되나요?
A. 안 됩니다. 같은 변이나 같은 각이 주어졌는지 먼저 확인해야 합니다. 모양만으로 성질을 정하지 않습니다.
Q. 사각형의 조건을 모두 외워야 하나요?
A. 이름만 암기하기보다 평행, 변의 길이, 직각 표시를 직접 확인하고 어떤 판별 조건에 해당하는지 연결하는 연습이 필요합니다.
Q. 오답을 몇 문제 남기는 것이 좋나요?
A. 수행평가나 과제가 많은 날에는 한두 문제라도 조건 표시와 근거까지 다시 쓰는 편이 낫습니다. 같은 답을 맞히는 것보다 새 그림에서 성질을 찾아내는지 확인해야 합니다.