상봉동중1수학과외, 수직이등분선 작도에서 컴퍼스 자국의 의미를 설명하는 연습
“컴퍼스로 이쪽에서 한 번, 저쪽에서 한 번 그렸어요.” 작도 문제를 풀 때 이런 설명은 자주 나오지만, 두 호가 왜 필요한지까지 말하지 못하면 수직이등분선의 원리를 실제 문제에 적용하기 어렵다. 한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 친구가 이미 다음 단원으로 넘어갔다는 이유로 수직이등분선 작도를 충분히 확인하지 않은 채 풀이를 끝내고 있었다.
학생은 선분 AB가 주어진 문제에서 컴퍼스의 침을 A에 꽂고 호를 그린 뒤, 같은 반지름을 유지해야 하는 순간에 컴퍼스를 조금 줄였다. 이어 B에서도 호를 그렸지만 두 호의 교점을 연결한 선이 선분 AB를 정확히 이등분하지 않았다. 답안에는 작도 순서만 적혀 있었고, “두 점에서 같은 거리에 있는 점을 연결했기 때문”이라는 근거는 없었다.
수직이등분선에서 확인해야 할 한 가지
수직이등분선은 선분을 수직으로 이등분하는 직선이다. 선분 AB의 수직이등분선 위의 점 P는 PA와 PB가 같다. 작도에서는 A와 B를 각각 중심으로 하여 같은 반지름의 호를 그린다. 이때 반지름은 선분 AB의 절반보다 커야 두 호가 만날 수 있다. 두 교점을 P, Q라고 하면 PA=PB이고 QA=QB이므로 P와 Q를 이은 직선이 AB의 수직이등분선이 된다.
따라서 학생이 매 단계에서 확인할 요소는 한꺼번에 여러 가지가 아니다. 먼저 “A와 B에서 컴퍼스 반지름을 같게 유지했는가?”만 본다. 다음 줄에서는 “두 호가 만나는가?”를 확인하고, 마지막에는 “P와 Q를 연결한 선이 AB와 만나는 점이 중점이며 직각을 이루는가?”를 확인한다. 계산 한 줄마다 변한 요소 하나만 확인하는 방식처럼 작도 한 단계에서도 검사할 조건을 하나씩 분리한다.
컴퍼스를 움직이기 전의 한 문장
작도 전에 학생은 다음 문장을 직접 적는다.
“A와 B에서 같은 반지름으로 호를 그려, 두 점에서 같은 거리에 있는 두 교점을 만든다.”
이 문장을 쓴 뒤 컴퍼스를 움직인다. A에서 호를 그린 후에는 컴퍼스의 벌어진 간격을 눈금이나 손가락 위치로 확인하고, B로 침을 옮긴다. 이때 벌어진 정도가 달라졌다면 호를 다시 그린다. 호의 교점 두 개가 만들어지면 자를 대어 P와 Q를 잇는다. 선분 AB와 만나는 점을 M이라 표시하고, AM과 MB가 같은지, PQ와 AB가 수직인지 확인한다.
도형 이름과 성질을 외워 말하는 것보다 중요한 것은 각 흔적이 어떤 조건을 만들었는지 설명하는 일이다. A를 중심으로 그린 호 위의 점은 A에서 같은 거리에 있고, B를 중심으로 그린 호 위의 점은 B에서 같은 거리에 있다. 두 호의 교점은 두 조건을 동시에 만족하므로 PA=PB가 된다. 이 관계가 빠지면 그림은 비슷해 보여도 수직이등분선의 근거가 없는 답안이 된다.
실제 오답을 고치는 순서
예를 들어 AB의 길이가 6cm인 작도에서 컴퍼스 반지름을 2cm로 잡으면 A 중심의 호와 B 중심의 호가 만나지 않을 수 있다. 학생이 이때 임의로 선을 그어 연결하면 안 된다. 먼저 반지름을 AB의 절반보다 크게 조정한다. 반지름을 4cm로 정했다면 A와 B 모두에서 4cm를 유지해야 한다. 반지름의 크기 자체보다 두 중심에서 동일해야 한다는 조건이 핵심이다.
또 다른 오류는 위쪽 호의 교점만 표시하고 아래쪽 교점을 생략하는 경우다. 한 교점만으로는 수직이등분선을 확정할 수 없으므로, 선분 AB의 양쪽에 두 호의 교점을 만든 뒤 연결해야 한다. 작도 후에는 선분 AB를 접었다고 생각했을 때 양 끝점 A와 B가 포개지는지, 연결한 선이 접힌 자국과 같은 위치인지 말로 확인한다.
친구의 선행보다 먼저 끝내야 할 확인
친구가 작도 단원을 끝냈다는 이유로 현재 문제를 넘기면, 학생은 작도 그림을 따라 그리는 데 익숙해질 뿐 조건을 읽는 힘은 남지 않는다. 상봉동에서 상봉중학교나 신현중학교에 다니는 학생이 학교 수업과 과제를 병행할 때도 한 문제를 오래 붙잡기보다, 작도 전 예측 한 문장과 작도 후 조건 세 가지를 짧게 기록하는 편이 효율적이다. 학교 위치나 생활권에 따라 학습시간이 달라질 수 있지만, 수직이등분선의 판단 기준은 달라지지 않는다. 동원중학교·면목중학교·봉화중학교는 같은 중랑구의 참고 학교이며 상봉동 소재 학교와 구분해 보아야 한다.
초등 도형 공백이 발견되더라도 도형 전 단원을 다시 펼치지 않는다. 현재 작도를 막는 부분이 선분의 중점, 수직의 의미, 컴퍼스 반지름 유지 중 무엇인지 하나만 찾는다. 예를 들어 중점을 “눈대중으로 가운데를 찍는 것”으로 알고 있다면 AB를 두 부분으로 나누는 점이라는 뜻만 짧게 확인한 뒤 곧바로 두 호의 교점 연결 문제에 적용한다.
같은 그림이 아닌 변형으로 검증하기
첫 번째 확인은 원래 문제를 덮고, 선분의 방향을 기울여 다시 작도하는 것이다. 선분이 가로가 아니어도 두 중심에서 같은 반지름으로 호를 그리면 결과가 같아야 한다. 다음에는 선분 AB의 길이를 8cm로 바꾸고 반지름을 5cm로 설정한다. 학생은 “반지름이 5cm라서”가 아니라 “AB의 절반보다 크고 A와 B에서 같기 때문에 두 호가 만난다”고 설명해야 한다.
그다음에는 두 호의 교점을 선분의 위쪽이 아니라 아래쪽에 표시하도록 조건을 바꾼다. 위아래 방향이 달라져도 두 교점을 연결한 직선은 같은 수직이등분선 위에 놓여야 한다. 마지막으로 작도 결과를 서술형으로 제시한다. “왜 PQ가 AB의 수직이등분선인지 쓰시오”라는 질문에 학생이 “PA=PB, QA=QB이므로 P와 Q는 각각 AB의 수직이등분선 위의 점이고, 두 점을 지나는 직선 PQ가 AB를 수직으로 이등분한다”라고 적는지 확인한다.
당일 정답 여부만 보지 않고 다음 날 선분의 길이와 방향을 바꾼 문제를 다시 제시한다. 일주일 뒤에는 그림 없이 “두 점에서 같은 거리에 있는 점의 자취”라는 문장만 주고 작도 절차를 말하게 한다. 컴퍼스 흔적을 복사하는 것이 아니라 같게 만들 길이와 그 결과를 설명한다면, 수직이등분선은 선행 진도에 밀려 넘기는 단원이 아니라 스스로 검증할 수 있는 개념으로 자리 잡는다.