상봉동고2수학과외, 사분면에 따라 달라지는 삼각함수의 부호
“제3사분면에서는 sin과 cos이 모두 양수니까…”라는 풀이가 적힌 순간, 계산보다 먼저 확인해야 할 조건이 빠졌다는 것을 알 수 있다. 상봉동에서 신현고등학교로 통학하며 과제와 지필평가를 함께 준비하는 고2 학생에게는 풀이 시간이 짧아질수록 사분면과 각의 단위를 여백에 기록하는 습관이 더욱 중요하다.
제3사분면에서 양수로 적은 부호
예를 들어 다음 조건을 보자.
θ는 제3사분면의 각이고, cos θ = -5/13일 때 sin θ와 tan θ를 구하여라.
학생의 첫 줄은 다음과 같았다.
제3사분면: sin θ > 0, cos θ > 0
이 판단은 틀렸다. 제3사분면에서는 좌표의 x와 y가 모두 음수이므로
- sin θ = y/r < 0
- cos θ = x/r < 0
- tan θ = y/x > 0
이다. 따라서 주어진 cos θ = -5/13과도 부호가 일치한다.
계산 전에 좌표의 부호를 네모로 고정하기
사인과 코사인의 관계식만 적용하면
sin²θ + cos²θ = 1
sin²θ + (-5/13)² = 1
sin²θ = 144/169
sin θ = ±12/13
여기서 제3사분면 조건을 사용해야 하므로 음수만 선택한다.
sin θ = -12/13
tan θ = sin θ / cos θ = (-12/13)/(-5/13) = 12/5
풀이 첫 줄에 다음처럼 확인 상자를 남기면 부호를 계산 중에 임의로 바꾸기 어렵다.
□ 제3사분면 □ 각의 단위 확인 □ sin−, cos−, tan+
이 문제처럼 사분면만 제시된 경우에는 도 단위와 라디안 단위가 답의 부호를 바꾸지 않는다. 다만 θ = 240°와 θ = 4π/3처럼 각을 직접 읽어야 하는 문제에서는 단위를 구별해야 한다. 사분면을 적지 않은 채 계산부터 시작하면 ± 중 어느 부호를 택할 근거가 사라진다.
각의 표현이 바뀌어도 같은 판단을 유지하는가
다음 조건으로 확인한다.
θ는 제2사분면의 각이고, tan θ = -3/4일 때 sin θ와 cos θ를 구하여라.
먼저 확인 상자에
□ 제2사분면 □ 단위 확인 □ sin+ cos− tan−
를 적는다. |tan θ| = 3/4이므로 직각삼각형의 변을 가로 4, 세로 3, 빗변 5로 둘 수 있다. 제2사분면의 부호를 적용하면
sin θ = 3/5, cos θ = -4/5
가 된다. 실제로
sin θ / cos θ = (3/5)/(-4/5) = -3/4
이므로 주어진 조건과도 일치한다. 이처럼 새로운 식에서는 숫자 계산보다 먼저 사분면과 단위를 네모로 확인했는지, 마지막에 원래의 삼각함수 비로 되돌려 검산했는지를 함께 본다.