상봉동 고3수학과외, 치환 뒤에는 적분구간부터 다시 읽기
상봉동에서 신현고등학교로 통학하며 과제와 시험 준비를 병행하는 고3 학생은 계산 속도보다 문제의 조건을 끝까지 연결하는 연습이 필요했다. 특히 치환적분에서 식은 바꾸지만 상한과 하한은 그대로 두는 습관이 반복되었다.
적분변수만 바꾸고 구간은 놓친 풀이
학생이 다음 적분을 풀었다.
\(\displaystyle I=\int_0^1 2x\sqrt{x^2+3}\,dx\)
학생은 \(u=x^2+3\), \(du=2x\,dx\)로 치환한 뒤 다음과 같이 적었다.
\(\displaystyle I=\int_0^1\sqrt{u}\,du=\left[\frac23u^{3/2}\right]_0^1=\frac23\)
이 식은 오답이다. 적분함수는 \(u\)로 바꾸었지만 적분구간의 \(0,1\)은 여전히 \(x\)의 값이다. \(u=x^2+3\)일 때 \(x=0\)에서는 \(u=3\), \(x=1\)에서는 \(u=4\)이므로 새 적분구간은 \(3\le u\le4\)가 되어야 한다.
변수 사이의 조건을 확인한 수정 과정
- 틀린 줄에 밑줄을 긋고, \(\int_0^1\sqrt{u}\,du\)에서 \(u\)의 구간이 왜 \(0,1\)인지 확인한다.
- \(u=x^2+3\)에 원래 상한과 하한을 각각 대입한다. \(x=0\Rightarrow u=3\), \(x=1\Rightarrow u=4\)이다.
- 따라서 식을 \(\displaystyle I=\int_3^4\sqrt{u}\,du\)로 고친다.
- 계산하면 \(\displaystyle I=\left[\frac23u^{3/2}\right]_3^4=\frac23(8-3\sqrt3)=\frac{16}{3}-2\sqrt3\)이다.
원래 함수는 \(0\le x\le1\)에서 \(2x\sqrt{x^2+3}\ge0\)이므로 적분값이 양수여야 한다. 실제로 \(\frac{16}{3}-2\sqrt3>0\)이므로 부호도 맞는다. 학생은 답을 구한 뒤 \(x=0,1\)에서의 함수값과 구간의 넓이를 대략 비교해 결과가 지나치게 작지 않은지도 확인했다.
상한과 하한이 달라질 때의 독립 검증
같은 절차를 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.
\(\displaystyle J=\int_1^2\frac{3x}{(x^2+1)^2}\,dx\)
\(u=x^2+1\), \(du=2x\,dx\)이므로 \(\frac32du=3x\,dx\)이다. 원래 구간에서 \(x=1\Rightarrow u=2\), \(x=2\Rightarrow u=5\)이므로
\(\displaystyle J=\frac32\int_2^5u^{-2}\,du=\frac32\left[-u^{-1}\right]_2^5=\frac32\left(\frac12-\frac15\right)=\frac9{20}\)
이번에는 상한·하한을 새 변수로 먼저 바꾼 뒤 계산했고, 원래 integrand가 양수인 \(1\le x\le2\)에서 결과 \(\frac9{20}>0\)인지까지 검산했다. 치환적분에서는 \(du\)만 맞추는 것이 끝이 아니라 변수와 구간을 함께 바꾸는 것이 핵심이다.