상봉동고1수학과외, 여러 자리 조건을 제한도 순서로 세기
상봉동에서 신현고등학교로 통학하며 과제와 시험 준비를 함께 진행하다 보면, 경우의 수 문제에서 조건을 읽고도 곧바로 계산부터 시작하는 장면이 나타날 수 있다. 특히 자리가 여러 개인 배열 문제에서는 가장 제한적인 조건을 먼저 고정해야 중복 계산과 누락을 줄일 수 있다.
조건을 식으로 옮긴 뒤 빠진 한 줄
다섯 명 A, B, C, D, E를 일렬로 세울 때 다음 조건을 만족하는 경우의 수를 생각해 보자.
- C는 양 끝자리 중 하나에 선다.
- A와 B는 서로 이웃한다.
학생의 답안에는 조건을 읽은 뒤 곧바로 배열을 계산한 흔적만 있고, 여백에 ‘자리 조건이 여러 개인 경우 가장 제한이 큰 자리부터 정하기’라는 확인 표시가 없었다. 실제 풀이도 전체 배열을 먼저 만든 뒤 조건을 맞춰 보려는 방식으로 진행되어, C의 끝자리 조건과 A, B의 이웃 조건이 어느 시점에 적용되었는지 드러나지 않았다.
C의 위치를 먼저 고정해야 하는 이유
‘C가 양 끝에 있다’는 조건은 C가 들어갈 자리를 2곳으로 제한한다. 이 조건을 먼저 정하면 남은 세 자리에는 A와 B를 하나의 묶음으로 생각할 수 있다. A와 B의 순서는 AB 또는 BA이므로 2가지이고, 묶음 하나와 D, E를 배열하는 방법은 3!가지이다.
따라서 전체 경우의 수는
2 × 3! × 2 = 24
이다. 여기서 앞의 2는 C의 자리, 뒤의 2는 묶음 안에서 A와 B의 순서를 나타낸다. 조건의 제한 정도를 먼저 확인하면 각 수가 무엇을 세는지 분명해진다.
오답이 생긴 위치를 다시 표시하기
학생이 쓴 답안에서 빠진 부분은 계산식 자체보다 조건을 적용하는 순서였다. 수정할 때는 처음부터 풀이 전체를 베끼지 않고, ‘C의 끝자리 고정’이 빠진 줄에 표시한 뒤 그 줄부터 다시 작성한다.
C의 끝자리 선택: 2가지 → 남은 자리에서 AB 묶음, D, E 배열: 3!가지 → AB 또는 BA: 2가지
이렇게 쓰면 C를 일반적인 다섯 자리 중 하나로 세는 실수를 막을 수 있다. 또한 A와 B를 따로 배열한 뒤 이웃 여부를 나중에 확인하는 대신, 처음부터 하나의 묶음으로 처리했는지도 확인할 수 있다.
같은 개념을 표 자료로 바꿔 확인하기
훈련 뒤에는 같은 사람과 같은 숫자를 반복하지 않고, 표의 단위를 바꾼 자료 문제를 제시한다. 예를 들어 수행평가와 지필평가의 공통 개념을 표로 정리하고, 네 개의 역할을 네 자리 순서에 배치한다고 하자. ‘기록 담당은 첫째 또는 넷째 자리’, ‘발표 담당과 계산 담당은 이웃’이라는 조건을 표에 제시한다.
학생이 먼저 가장 제한적인 기록 담당의 위치를 2곳으로 정한 다음, 나머지를 묶음으로 처리한다면 자리 문제의 구조를 새로운 표현에서도 적용한 것이다. 반대로 표의 항목을 모두 일렬로 나열한 뒤 조건을 확인한다면 이전의 누락이 반복된 것으로 본다.
상봉동 학습 일정 속 확인 방법
신현고등학교의 학교 과제와 지필평가 준비가 겹치는 날에는 긴 풀이를 여러 개 풀기보다, 조건의 제한 정도를 표시한 한 문제와 표 형식으로 바꾼 한 문제를 연이어 풀게 한다. 답만 확인하지 않고, 가장 제한적인 자리를 먼저 정했는지와 각 곱셈의 의미를 설명했는지를 함께 기록해야 한다.