묵동 고2수학과외, 단위원 좌표에서 사인과 코사인을 다시 읽는 연습
묵동의 원묵고등학교와 태릉고등학교처럼 통학과 과제가 함께 늘어나는 고2 과정에서는 삼각함수의 값을 외워 쓰는 것보다 좌표와 함수의 대응을 재구성하는 힘이 중요하다. 묵동자이아파트나 묵동공감대아파트 생활권에서 학교 프린트와 시험 문제를 오가다 보면 계수와 표현이 바뀐 한 줄에서 판단이 흔들리기 쉽다.
점의 가로좌표를 사인으로 읽은 순간
단위원 위의 점이
P(1/2, √3/2)
이고 동경 OP가 양의 x축과 이루는 각을 θ라고 하자. 학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
sin θ = 1/2
이 값은 점의 가로좌표를 읽은 결과다. 단위원에서 각 θ에 대응하는 점의 좌표는
P(cos θ, sin θ)
이므로, 첫째 좌표는 cos θ, 둘째 좌표는 sin θ이다. 따라서 주어진 점에서는
cos θ = 1/2, sin θ = √3/2
가 정확하다. 점이 제1사분면에 있으므로 두 값이 모두 양수라는 사실도 좌표와 부호를 대조하는 근거가 된다.
좌표를 함수값으로 바꾸기 전 되돌려 보는 과정
이 오류를 고칠 때는 “두 번째 좌표가 사인”이라고 한 번 외우고 끝내지 않는다. 사용한 규칙을 역으로 적용한다. 예를 들어 sin θ = √3/2라고 얻었다면 단위원의 대응점은
(cos θ, sin θ) = (1/2, √3/2)
로 복원되어야 한다. 반대로 sin θ = 1/2라고 쓰면 대응점의 y좌표가 1/2이어야 하므로 원래 제시된 점 (1/2, √3/2)와 맞지 않는다. 답을 쓴 뒤 좌표를 다시 만들어 원래 점과 일치하는지 확인하는 방식이다.
또한 θ가 제1사분면의 각이라면 0<θ<π/2이고, 이 점은 실제로 θ=π/3에 해당한다. 따라서 sin(π/3)=√3/2, cos(π/3)=1/2로 수치 검산도 가능하다.
계수만 바꾼 식에서 좌표를 복원하는 확인
이번에는 식을 다음처럼 바꾼다.
2sin θ = 1, 단 θ는 제2사분면의 각이다.
먼저 계수를 나누어 sin θ=1/2를 얻는다. 제2사분면에서는 y좌표가 양수이고 x좌표가 음수이므로 단위원의 대응점은
(cos θ, sin θ)=(-√3/2, 1/2)
이다. 여기서 사인을 가로좌표로 읽지 않고 세로좌표로 배치했는지 확인한다. 마지막으로 다시 식에 대입하면
2·(1/2)=1
이 되어 조건이 복원된다. 계수와 사분면이 달라져도 좌표를 (cos θ, sin θ)로 먼저 세우고, 부호를 확인한 뒤 식에 되돌려 넣었다면 같은 혼동을 피할 수 있다.