묵동고3수학과외

묵동 고3 수학과외: 절댓값 구간을 미분할 때 놓친 하한의 변화

묵동에서 원묵고등학교와 태릉고등학교로 통학하는 고3 학생은 중학교 때보다 이동 시간과 과제량이 함께 늘어나, 하루 뒤 같은 유형을 다시 풀 때 계산 과정을 생략하기 쉬웠다. 이 학생은 정적분의 상한과 하한이 모두 변하는 문제에서 범위보다 공식을 먼저 기억해 적용했다.

절댓값이 포함된 정적분의 구조

다음 함수를 두 구간으로 나누어 살펴보았다.

F(x)=∫_|x-2|^x+1(t²-4t+3)dt

적분함수를 f(t)=t²-4t+3라고 하면, 상한과 하한이 모두 변하므로

F′(x)=f(x+1)·1-f(|x-2|)·(|x-2|)′

이다. 절댓값 때문에 x<2에서는 (|x-2|)′=-1, x>2에서는 (|x-2|)′=1로 달라진다.

학생이 적은 오답과 정확한 수정

F′(x)=f(x+1)-f(|x-2|)

이 식은 오답이다. 하한의 미분계수인 (|x-2|)′를 빠뜨렸기 때문이다. 특히 x=1에서는 하한이 |x-2|=1이고 그 변화율은 -1이다.

실제 답안의 틀린 줄에 표시한 뒤, 학생은 화살표로 조건과 식을 연결했다.

• x<2 → |x-2|=2-x → 하한 미분계수=-1
• x>2 → |x-2|=x-2 → 하한 미분계수=1

x=1을 대입하면 상한은 2, 하한은 1이므로

F′(1)=f(2)-f(1)(-1)

f(2)=4-8+3=-1, f(1)=1-4+3=0이므로 F′(1)=-1이다.

역계산으로 확인하면 F(1)=∫₁²(t²-4t+3)dt이고, 범위의 상한을 조금 늘릴 때 생기는 변화량은 f(2), 하한을 줄일 때 생기는 변화량은 -f(1)이다. 따라서 -1+0=-1로 출발식과 일치한다.

x=3에서는 하한이 1, 상한이 4이므로

F′(3)=f(4)-f(1)=3-0=3

이처럼 절댓값의 영점인 x=2를 기준으로 식을 나누어야 한다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 절댓값의 영점과 계수를 바꾼 새 문제를 해설 없이 풀게 했다.

G(x)=∫_|x+1|^2x+3(t-1)dt

절댓값의 영점은 x=-1이다. 학생은 먼저 후보식을

G′(x)=2(2x+2)-(|x+1|)′(|x+1|-1)

로 세운 뒤, x=0에서는 (|x+1|)′=1이므로 G′(0)=4\, x=-2에서는 (|x+1|)′=-1이고 하한이 1, 상한이 -1이므로 G′(-2)=-4임을 확인했다. 절댓값 영점이 증가하면 구간별 미분계수도 다시 정해야 한다는 점까지 스스로 검증했다.