묵동고1수학과외: 같은 물건의 배열에서 순열과 중복을 구별하기
원묵고등학교나 태릉고등학교로 통학하며 과제와 시험 준비를 병행하는 시기에는 경우의 수 문제를 짧은 시간 안에 분류해야 한다. 이때 물건의 이름이 모두 다른지, 같은 종류가 섞여 있는지가 계산 방법을 바꾼다. 묵동자이아파트와 묵동공감대아파트 생활권에서 귀가 후 확보한 짧은 시간에도 먼저 이 조건을 판별하는 습관이 필요하다.
서로 다른 배열과 같은 물건의 배열은 결과를 세는 방식이 다르다
빨강 공 3개와 파랑 공 2개를 일렬로 놓는다고 하자. 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않으므로 다섯 자리 중 빨강이 놓일 세 자리를 고르는 문제이다.
경우의 수는
₅C₃ = 10
이다. 빨강 공을 R, 파랑 공을 B로 표시하면 RRB BB, RBRBB처럼 색의 순서만 달라지는 배열을 센다. 빨강 공 세 개를 각각 다른 물건으로 보고 5!을 적용하면 같은 색 공의 위치를 불필요하게 여러 번 세게 된다.
반대로 A, B, C, D, E처럼 다섯 물건이 모두 다르면 배열 수는 5! = 120이다. 따라서 ‘일렬로 놓는다’라는 표현만 보고 순열을 쓰는 것이 아니라, 같은 종류를 서로 구별하는지부터 확인해야 한다.
맞힌 답안에도 빠져 있던 한 줄
학교 프린트의 “사과 3개와 배 2개를 한 줄로 배열하는 방법의 수”에서 학생은 답란에 10을 적었다. 계산 결과는 맞았지만, 풀이에는 숫자만 남아 있었고 다음 문제로 바로 넘어갔다. 같은 종류의 물건이 섞였다는 판단이나 ₅C₃을 사용한 근거는 적지 않았다.
이 답안은 결과만 우연히 맞힌 것인지, 배열의 대상을 정확히 구별한 것인지 확인하기 어렵다. 사과 세 개와 배 두 개를 각각 다른 사과 A, B, C와 배 D, E로 바꾸면 상황이 달라지기 때문이다. 이때는 5!을 세는 대상이 되며, 원래 문제의 10과 일치하지 않는다.
계산 전에 ‘무엇이 같은가’를 말하게 한다
같은 문제를 다시 풀 때 학생에게 먼저 다음 문장을 말하게 한다.
사과끼리는 서로 구별하지 않으므로 다섯 자리 중 사과가 들어갈 세 자리를 고른다. 따라서 경우의 수는 ₅C₃ = 10이다.
그 뒤 실제 배열 하나를 적어 확인한다. 예를 들어 사과-배-사과-배-사과는 사과가 놓인 위치가 1, 3, 5인 경우다. 사과 세 개의 이름을 바꾸어도 새로운 배열로 세지 않으므로 순서를 따로 곱하지 않는다. 이 설명 후에야 계산식으로 넘어가게 하면, 답안에 물건의 구별 여부와 선택의 근거가 함께 남는다.
순서를 세는 문제처럼 보이는 함정
“빨간 구슬 2개와 초록 구슬 3개를 일렬로 배치하되 양 끝에는 서로 다른 색을 놓는다”를 살펴보자. 양 끝이 서로 다르다면 두 경우가 있다.
- 왼쪽이 빨강, 오른쪽이 초록인 경우: 가운데 세 자리에 빨강 1개와 초록 2개를 배치하므로 ₃C₁ = 3
- 왼쪽이 초록, 오른쪽이 빨강인 경우: 가운데 세 자리에 빨강 1개와 초록 2개를 배치하므로 ₃C₁ = 3
따라서 전체는 3 + 3 = 6이다. 학생이 5! 또는 2!×3!을 적용하면 같은 색 구슬을 서로 다른 것으로 센 오류가 생긴다. 조건을 먼저 고정하고 남은 자리의 색 배치를 세어야 한다.
좌표가 바뀐 경로에서 같은 판단을 다시 확인하기
새 검증에서는 좌표평면의 격자에서 점 (0, 0)에서 점 (3, 2)까지 오른쪽 또는 위쪽으로만 이동하는 경로를 제시한다. 오른쪽 이동 3번을 R, 위쪽 이동 2번을 U라고 하면 모든 경로는 R, R, R, U, U의 배열이다. R끼리, U끼리 서로 구별되지 않으므로 경로 수는
₅C₃ = 10
이다. 좌표값이 바뀐 새 그래프를 보았을 때 학생이 답지를 찾기 전에 한 번 더 시도하면서, 먼저 “같은 이동이 반복되므로 순서를 구별하는 배열이 아니라 R의 위치를 고르는 문제”라고 말하는지 관찰한다. 좌표가 (4, 2)로 바뀌면 R 4번과 U 2번이 되어 경우의 수는 ₆C₄ = 15이다. 숫자가 달라져도 같은 종류의 이동을 구별하지 않는다는 판단을 스스로 유지해야 한다.