면목동고2수학과외에서 짚는 단위원 좌표와 삼각함수의 정의
삼각함수의 정의 문제에서 답이 틀린 줄을 찾으려면 계산 결과보다 단위원의 좌표를 읽은 첫 줄을 확인해야 한다. 중심이 원점이고 반지름이 1인 단위원 위의 점을 P(x,y), 원점에서 잰 각을 θ라 하면 좌표는
P(cos θ, sin θ)
로 대응한다. 따라서 첫 번째 좌표는 cos θ, 두 번째 좌표는 sin θ이다.
두 번째 좌표를 놓친 계산 줄
예를 들어 단위원 위의 점이
P(1/2, √3/2)
라고 주어졌을 때, 답안에
sin θ = 1/2
라고 적었다면 오류는 제곱근 계산이 아니라 좌표 대응 단계에서 발생했다. 올바른 식은
cos θ = 1/2, sin θ = √3/2
이다. 이 점은 제1사분면에 있으므로 두 값 모두 양수이며, 좌표의 순서를 바꾸어 읽을 근거는 없다. 실제 풀이에서는 점의 좌표를 보자마자 값을 적기보다 먼저 (x,y)=(cos θ,sin θ)를 한 줄 남겨야 어느 계산 줄에서 부호나 위치가 바뀌었는지 추적할 수 있다.
부호는 좌표의 사분면에서 결정한다
조건이 π/2 < θ < π라면 점은 제2사분면에 있다. 이때 단위원 좌표는
(cos θ, sin θ) = (음수, 양수)
이므로 cos θ < 0, sin θ > 0이다. 예를 들어 cos θ=-1/2라면 단위원 위의 점은
P(-1/2, √3/2)
가 되고, 사인 값은 여전히 두 번째 좌표인 √3/2이다. 부호 오류 줄을 찾을 때는 최종 답만 비교하지 말고 다음 세 줄을 분리해 적는다.
(x,y)=(cos θ,sin θ)- 각의 범위에 따른 사분면과 좌표의 부호
- 주어진 좌표를 삼각함수 값으로 대응
사용한 규칙을 거꾸로 돌려 검산하기
P(1/2,√3/2)에서 sin θ=√3/2라고 고친 뒤에는 규칙을 역으로 적용한다.
(cos θ,sin θ)=(1/2,√3/2)
이 식에서 다시 좌표가 원래 점 P(1/2,√3/2)로 복원되므로 대응이 맞다. 반대로 sin θ=1/2를 사용하면 복원되는 좌표의 두 번째 성분이 1/2가 되어 원래 점과 달라진다. 이 역검산은 단순히 답을 외워 고치는 것이 아니라, 어느 줄에서 좌표의 역할이 뒤바뀌었는지 확인하게 한다.
각의 조건 하나만 바뀌었을 때
이번에는 좌표의 절댓값은 그대로 두고 각의 범위만
π < θ < 3π/2
로 바꾸어 보자. 제3사분면에서는 두 좌표가 모두 음수이므로
(cos θ,sin θ)=(-1/2,-√3/2)
이다. 여기서 바뀐 것은 사분면 조건이므로 좌표의 부호만 조정해야 한다. 사인과 코사인의 위치까지 바꾸면 안 된다. 마지막으로
(x,y)=(cos θ,sin θ)에 (-1/2,-√3/2)를 대입해 원래 조건과 맞는지 확인한다. 조건이 바뀐 부분만 반영하고 좌표 대응 규칙은 유지했는지가 이 문제의 판단 기준이다.
면목고등학교의 학교 프린트나 지필평가 문제를 풀이할 때도 점의 좌표, 사분면, 삼각함수 대응을 각각 한 줄씩 남기면 계산 줄의 오류를 재현하고 바로잡기 쉽다. 면목신우아파트와 면목한신아파트 생활권에서 이동하는 주간 학습 일정이 달라도, 단위원 문제에서는 이 세 줄의 순서를 스스로 복원하는지가 확인할 지점이다.