면목동고1수학과외, ‘적어도 하나’를 여사건으로 세는 경우의 수
면목고등학교 프린트의 경우의 수 문제에서 다음과 같은 식이 나왔다.
빨간 공 5개와 파란 공 4개 중에서 공 2개를 동시에 뽑을 때, 적어도 하나가 빨간 공일 확률을 구하여라.
학생은 빨간 공을 먼저 뽑는 경우와 파란 공을 먼저 뽑는 경우로 나누었다. 그러나 동시에 뽑는 상황에서 ‘빨간 공 1개와 파란 공 1개’는 뽑는 순서와 관계없이 하나의 경우다. 이 장면은 조건을 직접 분류하기 전에 여사건을 살펴야 하는 상태임을 보여준다.
‘빨간 공이 적어도 하나’의 반대 조건
전체 경우의 수는 9개 중 2개를 고르는 것이므로
전체 경우의 수 = C(9, 2) = 36
‘적어도 하나가 빨간 공’의 반대는 ‘빨간 공이 하나도 없다’이다. 빨간 공을 하나도 뽑지 않으려면 파란 공 4개 중 2개를 골라야 하므로
하나도 빨간 공이 없는 경우 = C(4, 2) = 6
따라서 원하는 경우의 수는
36 - 6 = 30
확률은 30/36 = 5/6이다. ‘적어도 하나’는 빨간 공 1개, 2개를 모두 포함하는 조건이므로, 그 반대인 ‘하나도 없음’을 전체에서 빼면 중복 없이 한 번에 계산할 수 있다.
학생의 분류식에서 두 번 세어진 경우
학생은 빨간 공을 뽑는 위치를 기준으로 경우를 나누며 빨간 공 5개 중 하나를 고르고, 파란 공 4개 중 하나를 고르는 상황을 두 순서로 기록했다.
5 × 4 + 4 × 5
이 식은 빨간 공과 파란 공을 하나씩 뽑는 경우를 순서에 따라 두 번 센다. 공을 동시에 뽑으므로 ‘빨강-파랑’과 ‘파랑-빨강’을 별개의 결과로 세면 안 된다. 게다가 빨간 공 2개를 뽑는 경우도 따로 합쳐야 하므로 직접 나누는 과정에서 누락과 중복이 함께 생길 수 있다.
오답표에는 계산 실수만 표시하지 않고, ‘적어도 하나 → 전체에서 하나도 없는 경우 빼기’라는 판단이 빠졌다고 기록한다. 이 표시를 식을 쓰기 전에 먼저 남기게 해야 한다.
풀이의 첫 줄을 바꾸는 연습
면목신우아파트나 면목한신아파트 인근에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 학교 프린트를 정리할 때는 문제의 조건에 표시를 남긴다. ‘적어도 하나’, ‘최소 한 개’, ‘한 번 이상’이 보이면 먼저 다음 문장을 적는다.
반대 사건: 해당 조건이 한 번도 일어나지 않는 경우
그다음 전체 경우와 반대 사건의 경우를 각각 계산하고 뺀다. 위 문제라면 학생이 직접
C(9,2) - C(4,2) = 36 - 6 = 30
을 작성한 뒤, 마지막에 ‘빨간 공이 적어도 하나인 경우’라는 결론을 붙이게 한다. 식만 맞고 조건에 대한 결론이 없으면 서술형 풀이로는 충분하지 않다.
시간 제한 속에서 확인할 세 줄
같은 문제를 베껴 다시 푸는 대신, 시간 제한을 둔 계산 세트에서 다음 세 항목을 각각 확인한다.
- 식: 전체 경우에서 반대 사건을 뺐는가?
- 근거: 반대 사건을 ‘빨간 공이 하나도 없는 경우’로 설명했는가?
- 결론: 구한 값이 ‘적어도 하나가 빨간 공인 경우’라고 밝혔는가?
예를 들어 빨간 공 6개와 흰 공 3개 중 3개를 뽑아 적어도 하나가 빨간 공일 때는
C(9,3) - C(3,3) = 84 - 1 = 83
이다. 학생이 중간식 C(9,3) - C(3,3)을 남겼다면 계산 결과가 틀렸을 때 전체 경우, 반대 사건, 뺄셈 중 어느 줄에서 오류가 시작됐는지 스스로 찾을 수 있다.
학교 일정에 맞춘 최종 점검
면목고등학교의 학교 프린트와 교과서 복습 시간이 수행평가와 겹치는 주에는 긴 문제를 많이 푸는 것보다, 서술형 한 문제의 식·근거·결론을 제한 시간 안에 유지하는지 확인하는 편이 적절하다. 같은 중랑구의 태릉고등학교, 송곡고등학교, 신현고등학교, 중화고등학교는 면목동 소재 학교가 아닌 참고 학교이므로, 학교별 일정과 자료는 구분해서 보아야 한다.
새 조건에서 학생이 숫자만 바꾸어 계산하지 않고, 먼저 ‘적어도 하나’의 반대 사건을 적은 뒤 전체 경우에서 빼는지 확인한다. 그 행동이 식과 설명, 결론까지 이어질 때 해당 유형을 스스로 적용한 것으로 판단한다.