면목동 고3 수학과외에서 확인한 정적분 미분의 첫 오류
면목동에서 공부하는 고3 학생은 면목고등학교 내신과 주간 일정에 맞춰 정적분 단원을 복습하고 있었다. 같은 중랑구의 태릉고등학교, 송곡고등학교, 신현고등학교, 중화고등학교 학생과도 학습 시간이 다를 수 있으므로, 학교를 하나의 학군 성향으로 묶기보다 각자의 답안에서 조건을 읽는 과정을 점검했다.
상한을 미분하는 순간 누락된 인자
학생이 다음 함수를 미분하는 과정에서 첫 불일치를 표시했다.
F(x)=∫0x²(t²+1)dt
답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
F′(x)=x⁴+1
이 식은 오답이다. 적분 상한이 단순히 x가 아니라 x²이므로, 상한을 미분한 2x를 곱해야 한다. 정적분과 미분의 관계를 적용하면
F′(x)=(x²+1)·(x²)′=2x(x⁴+1)
이다. 적분변수 t에는 상한을 대입한 뒤, 상한 함수 x²의 변화율까지 반영해야 한다.
끝점과 부호를 확인하는 수정 과정
- 학생은 답안의 F′(x)=x⁴+1에 밑줄을 그어 마지막 답이 아니라 첫 번째 불일치로 표시했다.
- 상한 옆에 x² 포함, 하한 옆에 0 포함이라고 적어 적분구간을 확인했다.
- 상한 함수가 x²임을 확인하고 d(x²)/dx=2x를 별도로 적었다.
- 수정한 식 F′(x)=2x(x⁴+1)에 x=1을 대입해 F′(1)=4를 계산했다.
- 원시함수로 직접 역계산했다.
실제로
F(x)=x⁶/5+x²
이므로
F′(x)=6x⁵/5+2x=2x(x⁴+1)
가 되어 같은 결과가 나온다. 이렇게 중간식의 최초 오류를 찾으면 단순히 마지막 숫자만 바꾸는 실수를 줄일 수 있다.
상한을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 상한과 피적분함수를 바꾸어 다음을 확인했다.
G(x)=∫−1x²+1(t³−2t)dt
하한은 −1, 상한은 x²+1이므로
G′(x)=[(x²+1)³−2(x²+1)]·2x
이다. 예를 들어 x=0이면 상한과 하한이 각각 1, −1이지만 상한의 변화율 2x가 0이므로 G′(0)=0이다. 상한 함수, 구간의 방향, 피적분함수의 부호를 함께 확인하는 습관이 필요한 단계다.