망우동고2수학과외

망우동 고2수학과외: 단위원 좌표를 읽기 전 사분면과 좌표의 역할 확인하기

망우동에는 송곡고등학교, 송곡여자고등학교, 혜원여자고등학교와 특성화고인 이화여자대학교병설미디어고등학교, 송곡관광고등학교가 있으며, 같은 중랑구의 태릉고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 지필평가와 수행평가 일정이 다르므로, 주간 풀이에서는 문제를 많이 푸는 것보다 좌표와 각의 조건을 먼저 판별하는 습관을 확인했다.

(1/2, √3/2)를 보고 sin부터 고른 이유

학생의 여백에는 단위원의 점 (1/2, √3/2)를 보고 “sin θ = 1/2”라고 적혀 있었다. 결과를 빨리 계산하려다 좌표의 역할을 뒤바꾼 것이다.

단위원에서 각 θ의 끝점 좌표는

(x, y) = (cos θ, sin θ)

로 정한다. 따라서

• cos θ = x = 1/2
• sin θ = y = √3/2

이다. 이 점은 x>0, y>0이므로 제1사분면에 있고, 실제로

(1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1

이 되어 단위원 위의 점이라는 조건도 만족한다. 학생의 답은 사인과 코사인의 좌표 대응을 바꾸었기 때문에 틀렸으며, 사분면을 확인하지 않았다고 해서 값의 순서를 바꿀 근거가 생기지는 않는다.

계산 전에 네모 칸으로 고정한 세 가지 조건

이후 풀이에서는 식 옆에 다음 확인 칸을 먼저 만들었다.

• □ 반지름이 1인 단위원의 점인가?
• □ 좌표를 (cos θ, sin θ) 순서로 읽었는가?
• □ x와 y의 부호가 사분면과 일치하는가?

예를 들어 점이 (-1/2, √3/2)라면 제2사분면이므로 x는 음수, y는 양수여야 한다. 따라서

cos θ = -1/2, sin θ = √3/2

로 읽는다. 여기서 사분면은 부호를 확인하는 조건이고, 좌표의 첫째 값과 둘째 값은 각각 코사인과 사인에 대응한다. 두 판단을 섞지 않도록 한 줄씩 따로 적게 했다.

각의 범위가 바뀌어도 좌표 대응을 유지하는가

하루 뒤에는 다음 문제를 제시했다.

단위원 위의 점 P의 좌표가 (-√3/2, -1/2)일 때, P가 나타내는 각 θ가 0≤θ<2π의 범위에 있을 경우 sin θ, cos θ, tan θ를 구하여라.

먼저 x와 y가 모두 음수이므로 P는 제3사분면에 있다. 좌표 대응을 적용하면

cos θ = -√3/2, sin θ = -1/2

이고,

tan θ = sin θ / cos θ = (-1/2) ÷ (-√3/2) = 1/√3 = √3/3

이다. 제3사분면에서 사인과 코사인은 음수이고 탄젠트는 양수이므로 부호도 일치한다. 또한 좌표가 단위원 위에 있는지

(-√3/2)² + (-1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1

로 다시 확인했다. 새로운 좌표에서도 계산 전에 반지름, 좌표 순서, 사분면을 스스로 적었다면 조건 판단이 실제 풀이에 적용된 것으로 본다.