망우동고1수학과외, 특정 숫자의 포함 여부로 경우 나누기
망우동의 송곡고등학교·송곡여자고등학교·혜원여자고등학교 등에서 학교별 주간 일정에 맞춰 고1 경우의 수를 복습할 때, 답을 다시 계산하는 것보다 어떤 조건에서 경우를 나누었는지 남기는 습관이 필요하다. 특히 특정 숫자가 반드시 들어가거나 들어가면 안 되는 문제는 조건을 놓치는 순간 식 전체가 달라진다.
지워진 식보다 먼저 찾아야 할 갈림길
숫자 \(1,2,3,4,5\) 중 서로 다른 두 개를 골라 두 자리 자연수 \(10a+b\)를 만들 때, 숫자 \(1\)을 포함하는 경우의 수를 구해 보자. 십의 자리와 일의 자리는 역할이 다르므로 순서를 고려해야 한다.
학생은 풀이 중 막힌 줄에 표시하지 않고 식 전체를 지운 뒤 다시 계산했다. 답안에는 곧바로 \(5\times4=20\)이라고 적혀 있었다. 이 계산은 가능한 두 자리 수 전체의 개수이므로, 숫자 \(1\)을 반드시 포함해야 한다는 조건을 반영하지 못한 오답이다.
‘포함’은 한 자리라도 들어가는 조건이다
숫자 \(1\)이 십의 자리에 오는 경우에는 일의 자리를 \(2,3,4,5\) 중에서 고르므로 \(4\)가지다. 숫자 \(1\)이 일의 자리에 오는 경우에도 십의 자리를 \(2,3,4,5\) 중에서 고르므로 \(4\)가지다.
두 경우는 숫자 \(1\)의 위치가 서로 달라 겹치지 않는다. 따라서 조건을 만족하는 수는
\(4+4=8\)
가지이다. 반대로 숫자 \(1\)을 포함하지 않는 경우라면 \(2,3,4,5\)만 사용하여 \(4\times3=12\)가지이고, 전체 \(20\)가지에서 빼도 \(20-12=8\)가지가 된다. 포함하는 경우와 포함하지 않는 경우를 나누는 기준이 분명해야 두 계산이 서로 검산 관계를 이룬다.
답안에 남겨야 할 판단의 흔적
훈련할 때는 풀이를 시작하기 전 문제의 조건을 짧게 확인하고, 계산을 마친 뒤 같은 조건을 다시 대조한다. 이 문제라면 첫 줄에 ‘숫자 \(1\)의 위치별로 나눈다’라고 적은 뒤, \(1\)이 십의 자리인 경우와 일의 자리인 경우를 각각 계산한다.
계산 중 \(5\times4\)가 보이면 그것이 전체 경우인지, 조건을 만족하는 경우인지 옆에 표시한다. 틀린 줄을 발견했을 때도 답안 전체를 지우지 말고 \(5\times4\) 옆에 ‘조건 미반영’이라고 남긴 다음, \(1\)의 위치를 기준으로 식을 고친다. 풀이 전후에 포함 여부를 두 번 확인하면 막힌 위치와 판단의 누락이 함께 드러난다.
조건을 바꾸어 좌표 순서까지 확인하기
변형 문제로 숫자 \(1,2,3,4\) 중 서로 다른 두 수를 순서 있게 정해 점 \((x,y)\)를 만들고, \(x+y=5\)인 점의 개수를 구한다. 가능한 순서쌍은 \((1,4),(4,1),(2,3),(3,2)\)이므로 모두 \(4\)개다.
여기서 \((1,4)\)와 \((4,1)\)을 같은 것으로 처리하면 안 된다. \(x\)좌표와 \(y\)좌표의 순서가 바뀌어 점의 위치도 달라지기 때문이다. 학생이 먼저 \(x,y\)의 순서를 확인하고, 각 순서쌍을 좌표평면의 위치와 대조한다면 이전에 익힌 조건 분류를 새로운 표현에서도 적용한 것으로 본다.
망우금호어울림아파트 등 생활권에서 학교와 이동 일정이 다른 학생이라도, 짧은 복습 시간에는 문제를 많이 푸는 대신 ‘특정 숫자를 포함하는가’, ‘포함한다면 어느 위치인가’를 풀이 전후에 확인하는 방식으로 계산 근거를 남길 수 있다.