망우동 고3수학과외에서 확인한 정적분 함수의 미분 오류
망우동에는 송곡고등학교, 송곡여자고등학교, 혜원여자고등학교, 이화여자대학교병설미디어고등학교, 송곡관광고등학교가 있고, 같은 중랑구의 참고 학교로 태릉고등학교가 있다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간이 다르기 때문에, 이번 수업에서는 진도보다 답안에 반복된 미분 과정을 먼저 점검했다.
적분값을 구하려다 놓친 상한의 변화
학생은 다음 함수를 보고 적분을 먼저 계산하려 했다.
F(x)=∫0x2+1(2t+3)dt
답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
F'(x)=2x+3
이 식은 오답이다. 적분의 상한이 x가 아니라 x2+1이므로, 상한 함수의 미분값 2x를 곱해야 한다. 기본정리와 연쇄법칙을 함께 적용하면
F'(x)=(2(x2+1)+3)·2x=(2x2+5)·2x
따라서
F'(x)=4x3+10x
이다. 학생이 적분값을 직접 구하면
F(x)=[t2+3t]0x2+1=(x2+1)2+3(x2+1)
이고, 이를 미분해도 4x3+10x가 나온다. 그러나 모든 문제에서 적분을 먼저 계산할 필요는 없다. 상한과 하한의 함수 여부를 확인한 뒤 기본정리를 바로 적용하는 것이 핵심이다.
두 값을 대입해 공식이 맞는지 확인하기
수업에서는 공식 적용 전 대표값을 직접 넣었다. x=0이면 상한은 1이고, 올바른 도함수는
F'(0)=(2·1+3)·0=0
이다. 학생의 오답식 2x+3에 x=0을 넣으면 3이 되어 즉시 차이가 드러난다.
또 x=1에서는 상한이 2이므로
F'(1)=(2·2+3)·2=14
가 된다. 오답식은 5를 내놓으므로 상한의 변화율을 빠뜨린 것이 분명하다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 상한을 u(x)=x2+1로 따로 적고 u'(x)=2x를 확인했다. 그다음 f(u(x))u'(x)의 형태로 식을 수정하고, 직접 적분한 F(x)를 다시 미분해 결과를 역검산했다.
상하한을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 함수로 확인했다.
G(x)=∫x3 (t2+1)dt
이번에는 하한이 x이므로 하한의 변화가 음수로 반영된다.
G'(x)=0-(x2+1)=-x2-1
학생은 x=0을 대입해 G'(0)=-1, x=2를 대입해 G'(2)=-5임을 확인했다. 이어 적분을 계산하면
G(x)=[t3/3+t]x3=10-(x3/3+x)
이므로 미분 결과가 -x2-1과 일치한다. 상한이면 양의 변화, 하한이면 음의 변화가 된다는 관계를 식과 대입으로 확인하면서, 적분값을 먼저 구하지 않아도 경계 함수의 변화만으로 미분할 수 있게 되었다.