장안구고2수학과외

장안구고2수학과외에서 확인한 시그마의 범위 판단

방과 후 이동을 마치고 확보한 자습 시간에 수열의 합 문제를 풀던 중, 계산보다 먼저 확인해야 할 조건이 답안에서 빠져 있었다. 시그마의 합의 선형성은 항별로 분리할 수 있지만, 각 합의 인덱스 범위가 같을 때만 같은 방식으로 처리해야 한다.

Σ(2k+1)에서 상수항을 빠뜨린 계산

다음 합을 계산해 보자.

∑_k=2⁶(2k+1)

풀이 여백에 인덱스 범위를 적지 않은 채

∑(2k+1)=2∑k+1

이라고 쓰면 상수항 1을 한 번만 더하게 된다. 그러나 k=2부터 6까지 항은 모두 5개이므로, 정확한 분리는 다음과 같다.

∑_k=2⁶(2k+1) =2∑_k=2⁶k+∑_k=2⁶1

따라서

2(2+3+4+5+6)+5=2×20+5=45

이다. 학생의 오답처럼 마지막에 1만 더하면 41이 되지만, 상수 1은 다섯 항에 각각 포함되어 있으므로 ∑1=5로 계산해야 한다.

범위를 먼저 적어야 선형성이 보인다

합을 분리하기 전 여백에 반드시 k=2, 3, 4, 5, 6 또는 항의 개수 5를 남긴다. 그 뒤 식 위에 다음처럼 표시한다.

∑(2k+1) → 2∑k + ∑1 → 2∑k + 5

상수계수는 밖으로 꺼낼 수 있지만, 상수항 자체는 항의 개수만큼 반복된다. 또한

∑_k=1⁴k + ∑_k=2⁵k

처럼 범위가 다르면 두 합을 하나의 합처럼 합치지 않는다. 합의 선형성은 같은 인덱스 범위에서 항별 분해가 성립한다는 점까지 확인해야 한다.

새 범위에서 상수항을 다시 세기

조건을 바꾸어 다음 식을 계산한다.

∑_i=1⁴(3i-2)

이번에는 먼저 범위를 적고, 상수항의 합을 따로 표시한다.

∑_i=1⁴(3i-2) =3∑_i=1⁴i-2∑_i=1⁴1

=3(1+2+3+4)-2×4=30-8=22

새로운 계수와 범위에서도 ∑1=항의 개수를 스스로 적고, 분리된 각 합의 시작·끝 인덱스가 원래 식과 같은지 확인했다면 합의 선형성을 조건에 맞게 적용한 것이다.