장안구고3수학과외

장안구 고3수학과외: 거리의 차에 절댓값을 붙이는 쌍곡선 해석

장안구에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에 쌍곡선 문제를 다시 풀던 학생은 계산보다 먼저 초점과 축의 위치를 표시하는 연습을 진행했다. 천천동 등 생활권에서 이동 시간이 달라질 수 있으므로, 짧은 자습시간에도 풀이 조건을 한 줄씩 확인하도록 했다.

초점과 축을 표시한 뒤 정의 확인하기

초점이 F₁(-3,0), F₂(3,0)인 쌍곡선에서 두 초점 사이 거리는 6이다. 주축이 x축 위에 있고 중심이 원점이라면 쌍곡선의 정의는

|PF₁ - PF₂| = 2a

로 쓸 수 있다. 꼭짓점이 (2,0), (-2,0)이므로 a=2이고, 거리의 차는 2a=4이다. 초점거리에서 c=3이므로

b² = c² - a² = 9-4=5

이며 쌍곡선의 식은

x²/4 - y²/5 = 1

이다. 이때 준선은 x=±a²/c=±4/3으로 표시할 수 있다. 초점이 좌우에 있으므로 주축은 수평이고, 준선도 세로선이라는 관계를 함께 확인했다.

절댓값을 빠뜨린 오답을 바로잡기

학생의 오답: PF₁ - PF₂ = 4

이 식은 쌍곡선의 거리 차 조건을 한 방향의 뺄셈으로만 제한하므로 틀린 식이다. 점 P=(-2,0)을 대입하면

PF₁=1, PF₂=5

이므로 학생의 식은 1-5=-4가 되어 4가 아니다. 그러나 이 점은 왼쪽 꼭짓점으로 쌍곡선 위에 있어야 한다. 초점의 순서를 바꾸거나 왼쪽 가지를 다룰 때도 거리 차는 양수로 측정해야 하므로 정확한 조건은

|PF₁ - PF₂| = |1-5| = 4

이다. 오른쪽 꼭짓점 Q=(2,0)에서도

|QF₁ - QF₂|=|5-1|=4

가 되어 정의와 식이 일치한다.

틀린 줄만 고쳐 역대입하는 과정

• 틀린 줄 표시: 거리 차를 PF₁-PF₂로만 적은 부분에 밑줄을 그었다.
• 조건 확인: 초점은 좌우에 있고 쌍곡선은 두 초점까지 거리의 차의 절댓값이 일정하다는 점을 다시 읽었다.
• 식 수정: PF₁-PF₂=4를 |PF₁-PF₂|=4로 고쳤다.
• 검산: 두 꼭짓점 (2,0),(-2,0)을 각각 대입해 거리 차가 모두 4인지 확인했다.

초점과 준선을 옮긴 독립 검증

이번에는 초점을 F₁(1,-3), F₂(1,7)로 바꾸고 중심을 (1,2)로 둔다. 초점이 위아래에 있으므로 주축은 y축 방향이다. 꼭짓점을 (1,5)로 정하면

|PF₁-PF₂|=|8-2|=6

이고, 이는 2a=6과 일치한다. 여기서 a=3, c=5이므로

b²=25-9=16

이다. 준선은 수직축 방향에 맞춰

y=2±a²/c=2±9/5

가 된다. 학생은 새 초점 배치에서도 거리의 순서를 임의로 정하지 않고 절댓값을 먼저 적은 뒤 꼭짓점에 역대입하여 수정 행동이 유지되는지 확인했다.