일산고2수학과외

일산고2수학과외에서 확인한 삼각함수 관계식의 적용 조건

학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 시기에는 삼각함수의 공식 자체보다 그 공식을 사용할 수 있는지 먼저 판단해야 한다. 일산동고, 백마고, 정발고 등 일산 생활권의 고2 수학 학습에서도 풀이 시간이 부족할수록 사분면과 각의 단위를 건너뛰는 장면이 자주 나타난다.

cosθ가 0일 때 tanθ를 나눌 수 없는 이유

삼각함수 사이의 관계는 다음과 같다.

tanθ = sinθ / cosθ

하지만 이 식은 분모인 cosθ가 0이 아닐 때만 사용할 수 있다. 예를 들어 θ=π/2이면

sin(π/2)=1, cos(π/2)=0

이므로 tan(π/2)는 정의되지 않는다. 따라서 sinθ와 cosθ의 값을 알고 있다는 이유만으로 언제나 나눗셈을 실행해서는 안 된다.

사분면을 확인하지 않아 부호가 뒤집힌 풀이

예를 들어 π/2<θ<π이고 sinθ=3/5일 때 tanθ를 구한다고 하자. θ는 제2사분면에 있으므로 sinθ는 양수, cosθ는 음수이다.

sin²θ+cos²θ=1에서

cos²θ=1-9/25=16/25

를 얻지만, 사분면을 반영하면 cosθ=-4/5이다. 따라서

tanθ=(3/5)/(-4/5)=-3/4

가 정답이다. cosθ=4/5로 적은 뒤 tanθ=3/4이라고 한 풀이는 제곱근 계산만 한 것이 아니라 제2사분면의 부호를 놓친 경우다.

현재 풀이에서는 식을 바로 계산하기 전에 각의 단위가 라디안인지, θ가 어느 사분면에 있는지, cosθ가 0인지 표시하는 과정이 필요하다. 특히 θ=π/2, 3π/2처럼 cosθ=0인 각에서는 tanθ=sinθ/cosθ를 사용할 수 없다.

잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 비교하기

달라진 기호는 ‘=0’의 의미다. 분모가 0인 분수는 0이 되는 것이 아니라 정의되지 않는다. 이후의 문제에서는 답안 첫 줄에 ‘cosθ≠0인지 확인’이라고 적고, 사분면을 작은 그림이나 부호표로 표시한 뒤 계산하도록 한다.

각의 위치를 바꾼 검산

새 조건으로 π/2<θ<π, sinθ=1/2인 경우를 확인해 보자. 제2사분면이므로

cosθ=-√3/2

이고, cosθ≠0이므로 관계식을 적용할 수 있다.

tanθ=(1/2)/(-√3/2)=-1/√3=-√3/3

이다. 마지막으로 tanθ·cosθ=(-√3/3)(-√3/2)=1/2=sinθ가 되어 대입 검산도 성립한다. 이때 사분면의 부호와 분모 조건을 스스로 적었다면, 숫자와 각이 바뀐 문제에서도 삼각함수 관계를 안전하게 적용한 것이다.