일산 고3 수학과외에서 점검한 부분적분의 경계항
일산 생활권의 고3 학생은 주엽고등학교, 안곡고등학교, 일산동고등학교 등 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 따로 확인하면서 평일 귀가 이후 정적분 단원을 복습하고 있었다. 그러나 계산 속도를 높이려다 부분적분의 경계값을 반복해서 누락했다.
경계항을 빠뜨린 실제 오답
학생이 계산한 문제는 다음과 같다.
∫₁ᵉ x ln x dx
u=ln x, dv=x dx로 두면 du=1/x dx, v=x²/2이므로
∫₁ᵉ x ln x dx = [x²/2 ln x]₁ᵉ - ∫₁ᵉ x/2 dx
그런데 학생은 부분적분 뒤의 경계항을 빠뜨리고 다음처럼 적었다.
∫₁ᵉ x ln x dx = -∫₁ᵉ x/2 dx = -(e²-1)/4
이 식은 오답이다. 정적분 부분적분 공식은 부정적분 공식처럼 항을 생략할 수 없으며, 반드시 [uv]ₐᵇ를 계산해야 한다.
조건과 변수 관계를 확인한 수정 과정
- 틀린 줄 표시: -∫₁ᵉ x/2 dx 앞에 있어야 할 [x²/2 ln x]₁ᵉ가 누락되었다.
- 경계값 대입: [x²/2 ln x]₁ᵉ = (e²/2)ln e - (1/2)ln 1 = e²/2.
- 나머지 적분 계산: ∫₁ᵉ x/2 dx = [x²/4]₁ᵉ = (e²-1)/4.
- 식 수정: ∫₁ᵉ x ln x dx = e²/2 - (e²-1)/4 = (e²+1)/4.
학생은 원래 적은 음수값과 함수의 부호도 대조했다. 구간 [1,e]에서 x>0이고 ln x≥0이므로 적분값은 음수가 될 수 없다. 따라서 -(e²-1)/4라는 결과는 계산 중간에 누락이 있다는 신호였다. 끝으로 원시함수 F(x)=x²/2 ln x-x²/4를 구해 F(e)-F(1)을 계산하자 같은 값인 (e²+1)/4가 나왔다.
상하한을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 함수와 구간을 바꿔 다음 문제를 풀었다.
∫₀¹ x eˣ dx
u=x, dv=eˣdx로 두면 du=dx, v=eˣ이므로
∫₀¹ x eˣ dx = [xeˣ]₀¹ - ∫₀¹ eˣdx
= (e-0) - (e-1) = 1
이번에는 먼저 [xeˣ]₀¹을 표시한 뒤 값을 대입했다. 또한 구간에서 xeˣ≥0이므로 결과 1의 부호가 조건과 맞는지 확인했다. 일산 고3 수학과외 복습에서는 부분적분을 시작하기 전 상한·하한과 구간 방향을 적고, 계산 후에는 경계항·부호·원식 대입을 차례로 검산하도록 정리했다.