일산고1수학과외, 경로의 단계별 선택 수를 곱하는 법
일산 생활권에서 학교 프린트와 교과서 복습 시간이 겹칠 때는 짧은 시간에도 문제의 구조를 먼저 읽어야 한다. 경우의 수 단원에서 경로 문제가 나오면 최근에 외운 공식을 바로 적기보다, 출발점에서 도착점까지 몇 단계의 선택이 이어지는지 표시하는 과정이 필요하다.
계산보다 먼저 경로의 층위를 나누기
예를 들어 출발지 A에서 도서관 C로 가는 경로가 다음과 같다고 하자. A에서 중간 지점 B까지는 버스 3개 중 하나를 고르고, B에서 C까지는 도보 경로 2개 중 하나를 고른다.
첫 단계의 선택 하나마다 두 번째 단계의 선택 2개가 연결되므로 전체 경로 수는
3 × 2 = 6
이다. 여기서 곱셈을 사용하는 이유는 ‘버스 선택’과 ‘도보 선택’이 차례로 모두 이루어져야 하기 때문이다. 반대로 A에서 C까지 버스만 이용하는 경우 3가지와 지하철만 이용하는 경우 4가지를 서로 따로 세는 상황이라면 합의 법칙으로 3 + 4 = 7을 계산한다.
공식을 먼저 적은 답안에서 빠진 표시
수업 중 확인한 답안에는 문제를 읽은 직후 최근에 연습한 공식을 적고 다음 계산으로 넘어간 흔적이 있었다. ‘경로 문제에서 각 단계 선택 수를 곱셈법칙으로 연결’한다는 표시가 없어서, A에서 B로 가는 선택과 B에서 C로 가는 선택을 각각 세고도 두 결과를 곱하지 못했다.
오답표에는 경로의 단계별 선택 수를 연결하는 줄이 빠져 있었다. 따라서 계산 실수라기보다 경로를 ‘이어지는 선택’으로 바꾸는 판단이 답안에 나타나지 않은 경우다.
빠진 줄부터 다시 써서 경로를 식으로 번역하기
수정할 때는 정답 6만 다시 쓰지 않는다. 먼저 오답지에서 누락된 위치에 다음과 같은 두 줄을 삽입한다.
- 1단계: A에서 B까지 선택 3가지
- 2단계: B에서 C까지 선택 2가지
그 뒤 각 1단계 선택에 대해 2단계 선택이 모두 연결된다는 뜻을 식으로 적는다.
전체 경로 수 = 3 × 2 = 6
만약 B에서 C로 가는 길 중 하나가 공사로 이용 불가능하다면 두 번째 단계의 선택 수가 1로 바뀌어 3 × 1 = 3이 된다. 조건 하나가 단계별 선택 수를 바꾸고, 그 결과 전체 경우의 수도 달라진다는 점까지 확인해야 한다.
표의 순서를 바꾸어도 같은 관계를 찾는지 확인하기
검증에서는 경로를 그림 순서대로 제시하지 않고 표의 행을 섞어 제시한다. 예를 들어 표 제목이 ‘A에서 C까지 가능한 이동 경로’, 단위가 ‘가지’라고 적혀 있고, 첫 단계가 4가지, 다음 단계가 3가지로 표시되어 있다면 그림을 먼저 복원하려 하지 말고 두 단계가 모두 필요한지 확인한다.
두 단계가 연속되는 구조라면 4 × 3 = 12가지이다. 반면 표에 ‘버스 이용’과 ‘지하철 이용’이 서로 대안으로 나뉘어 있다면 각 경우를 더해야 한다. 학생이 표의 제목과 단위를 읽은 뒤 전체와 부분의 관계를 정확히 설명하고 식을 세우는지 관찰한다.
맞혀도 오래 걸린 문제는 다시 기록하기
정답 12를 얻었더라도 표의 제목과 단위를 확인하는 데 지나치게 오래 걸렸다면 재확인 대상으로 남긴다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 주엽고, 백마고 등 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 실제 학교 프린트에서 표·그림·문장 순서가 달라져도 ‘연속 단계면 곱한다’는 판단을 스스로 꺼내는지 기록하는 방식이 적절하다.