탄현동고2수학과외, 삼각함수 제한구간의 끝점을 놓치지 않는 최대·최소 풀이
“0≤x≤π에서 cos x의 최솟값은 0이다.”
탄현마을과 탄현2단지처럼 생활권이 나뉘고 학교별 주간 일정도 다른 만큼, 고2 수학에서는 풀이 시간을 줄이려다 조건 하나를 생략하지 않는 습관이 중요하다. 일산동고등학교 내신을 준비하든 같은 일산서구의 주엽고·덕이고·가좌고 등 참고 학교의 문제를 살피든, 삼각함수의 제한구간 최대·최소는 그래프의 모양보다 주어진 구간 안의 후보를 빠짐없이 비교해야 한다.
끝점 π를 빼면 최솟값 후보가 사라진다
위 문장에서 cos x는 0≤x≤π에서 감소한다. 따라서 양 끝값을 직접 확인해야 한다.
| x | 0 | π |
|---|---|---|
| cos x | 1 | -1 |
그러므로 최댓값은 1, 최솟값은 -1이다. x=π/2에서의 값은 0이지만, 그것은 이 구간에서 최댓값이나 최솟값이 아니다.
제한구간의 최대·최소를 구할 때는 다음처럼 후보를 적는다.
- 구간의 왼쪽 끝점
- 구간의 오른쪽 끝점
- 구간 안에서 삼각함수가 방향을 바꾸는 주요 각
계수가 붙으면 먼저 원래 함수값을 계산한다
예를 들어
f(x)=-2cos x+1, 0≤x≤π
를 보자. cos x의 값만 보고 부호를 처리하면 안 되고, 원래 식에 각각 대입해야 한다.
- f(0)=-2·1+1=-1
- f(π/2)=-2·0+1=1
- f(π)=-2·(-1)+1=3
따라서 최솟값은 -1, 최댓값은 3이다. 끝점 π를 누락하면 최댓값 3을 놓치게 된다.
대입 두 줄로 풀이의 방향을 바로잡기
풀이가 cos x의 표준값만 나열하고 끝났다면, 다음처럼 실제 함수에 대입하는 표를 만든다.
| 후보 x | cos x | f(x)=-2cos x+1 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | -1 |
| π/2 | 0 | 1 |
| π | -1 | 3 |
이렇게 쓰면 계수 -2 때문에 최댓값과 최솟값의 위치가 바뀐다는 사실도 확인된다. 끝점 하나를 생략한 답은 계산 실수라기보다 제한구간의 후보를 완성하지 못한 풀이가 된다.
새 계수와 다른 구간에서도 끝점부터 대입하기
다음 문제에서는 숫자와 구간을 바꾸어 적용한다.
g(x)=3cos x-2, π/3≤x≤4π/3
이 구간의 후보는 양 끝점 π/3, 4π/3와 내부의 π이다.
- g(π/3)=3·1/2-2=-1/2
- g(π)=3·(-1)-2=-5
- g(4π/3)=3·(-1/2)-2=-7/2
따라서 이 구간에서 최댓값은 -1/2, 최솟값은 -5이다. 특히 오른쪽 끝점의 값 -7/2도 내부값과 비교해야 하므로, 왼쪽 끝점만 확인해서는 안 된다.
마지막 답안에는 선택한 후보각과 각 함수값을 남긴다. 구간의 양 끝을 먼저 적고, 계수와 부호가 바뀐 식에 그대로 대입해 결과를 비교하는 과정까지 수행해야 제한구간의 최대·최소 판단이 새로운 문제에서도 유지된다.