탄현동고3수학과외

탄현동 고3수학과외, 상한 함수가 바뀐 정적분의 넓이와 부호 분석

탄현동에서는 일산동고등학교를 비롯해 같은 일산서구의 주엽고등학교, 덕이고등학교, 가좌고등학교 등을 오가는 학생들의 주간 일정이 서로 다르다. 그래서 한 문제를 빠르게 푸는 것보다 조건을 식과 그래프에 연결해 검산하는 풀이가 중요하다.

상한이 함수일 때 빠뜨린 연쇄법칙

학생은 다음 함수를 미분하고 증가·감소 구간을 찾았다.

F(x)=∫₀^x²−2x(t−1)dt

계산 과정에서 학생은 다음과 같이 적었다.

F′(x)=x²−2x−1

이 식은 오답이다. 적분의 상한이 x가 아니라 g(x)=x²−2x이므로, 적분함수에 g′(x)를 곱해야 한다.

먼저

g(x)=x²−2x,　g′(x)=2x−2

이고, 기본정리를 적용하면

F′(x)=(g(x)−1)g′(x)=(x²−2x−1)(2x−2)

이다. 학생은 첫 번째 인자만 남기면서 상한의 변화율인 2x−2를 누락했다.

조건과 식을 화살표로 연결한 수정

• 상한: g(x)=x²−2x
• 상한의 변화율: g′(x)=2x−2
• 적분함수: t−1
• t에 g(x)를 대입한 값: g(x)−1=x²−2x−1
• 정확한 도함수: F′(x)=(x²−2x−1)(2x−2)

이제 임계점을 구하면

x²−2x−1=0 또는 2x−2=0

이므로

x=1−√2,　x=1,　x=1+√2

이다. 인자별 부호를 조사하면 F′의 부호는 다음과 같이 바뀐다.

• x<1−√2: 양수
• 1−√2<x<1: 음수
• 1<x<1+√2: 양수
• x>1+√2: 음수

따라서 x=1−√2와 x=1+√2에서는 극대, x=1에서는 극소가 된다. 누락된 2x−2를 포함하지 않으면 x=1이라는 중요한 임계점을 잃게 되므로 넓이와 교점 구간도 잘못 나뉜다.

원식과 그래프를 이용한 교차 검산

직접 적분하면

F(x)=½(x²−2x)²−(x²−2x)

이고, 인수분해하면

F(x)=(x²−2x)(x²−2x−2)/2

이다. 따라서 x축과의 교점은

x=0,　2,　1−√3,　1+√3

이다. 학생은 수정한 도함수의 임계점과 이 교점들을 수직선에 표시한 뒤, 각 구간에서 F의 부호를 대입으로 확인했다. 예를 들어 x=0.5를 대입하면 x²−2x=−0.75이므로 두 인자의 곱은 양수이고 F(0.5)>0이다. 그래프에서도 x=0과 x=1−√3 사이의 부호가 양수인지 확인해 계산 결과와 대조했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 오류가 반복되지 않는지 다음 문제로 확인했다.

H(x)=∫₁^2x−x²(3t+2)dt

이번에는 h(x)=2x−x², h′(x)=2−2x이므로

H′(x)=(3h(x)+2)h′(x)=(3(2x−x²)+2)(2−2x)

이다. 상한에 h(x)를 대입한 뒤 반드시 h′(x)를 곱해야 한다. x=0을 대입하면 H′(0)=2×2=4이고, 원래 식을 적분한 뒤 미분해도 같은 값이 나온다. 또한 x=1에서는 h′(1)=0이므로 H′(1)=0이 된다. 이 두 값을 역검산해 상한 함수의 변화율을 빠뜨리지 않았음을 확인했다.