탄현동고1수학과외, 팩토리얼을 큰 수로 계산하기 전 약분하기
탄현동의 일산동고등학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 팩토리얼이 들어간 식은 계산 속도보다 약분의 근거를 먼저 남기는지가 중요하다. 탄현마을이나 탄현2단지에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 문제를 풀더라도 어떤 팩토리얼을 어떻게 펼쳤는지가 답안에 보여야 계산 오류를 추적할 수 있다.
12!과 8!을 모두 계산하지 않는 이유
다음 조합을 직접 계산한다고 하자.
₁₂C₄ = 12! ÷ (8!·4!)
12!과 8!을 각각 계산하면 매우 큰 수가 생기지만, 팩토리얼의 관계를 이용하면 먼저 공통 인수를 없앨 수 있다.
12! = 12·11·10·9·8! 이므로
12! ÷ (8!·4!) = (12·11·10·9·8!) ÷ (8!·4!)
여기서 8!을 먼저 약분하면
(12·11·10·9) ÷ 4!
이고, 4! = 4·3·2·1 = 24이다. 따라서 분모를 단순히 4로 바꾸면 안 된다.
계산 중간에 생긴 실제 오답
학생은 답안에 다음과 같이 적었다.
12! ÷ (8!·4!) = 12·11·10·9 ÷ 4
= 3·11·10·9
= 2970
이 식에서는 8!을 없앤 과정은 드러나지만, 4! 전체를 분모에 남겨야 한다는 조건이 빠졌다. 4!은 4가 아니라 24이므로 12와 약분할 대상도 4 하나로 한정할 수 없다.
정확한 전개는 다음과 같다.
12! ÷ (8!·4!) = (12·11·10·9) ÷ (4·3·2·1)
분자와 분모의 인수를 확인하며 약분하면
12 ÷ 4 = 3, 9 ÷ 3 = 3, 10 ÷ 2 = 5
따라서
3·11·5·3 = 495
이다. 약분은 분자와 분모에 곱셈으로 묶인 인수 사이에서만 가능하므로, 팩토리얼을 먼저 인수의 곱으로 바꾸는 절차가 필요하다.
답안에 남겨야 할 한 줄
이 학생은 사용할 성질을 미리 적지 않고 계산하다가, 다음 줄로 넘어갈 때 약분의 근거를 남기지 않았다. 풀이를 시작할 때 다음처럼 짧게 기록하도록 바꾼다.
- 12! = 12·11·10·9·8!
- 8! 약분
- 4! = 4·3·2·1
- 분자와 분모의 인수별 약분
그 뒤 실제 계산에서는 12·11·10·9 ÷ (4·3·2·1)을 적고, 12와 4, 9와 3, 10과 2를 각각 지운 흔적을 남긴다. 먼저 “8!을 없애고 4!은 네 개의 인수로 펼친다”고 말한 뒤 계산하게 하면, 정답뿐 아니라 어떤 항을 함께 없앴는지도 확인할 수 있다.
소인수로 되돌려 계산을 점검하는 방법
약분 뒤 남은 값이 맞는지 확인할 때는 소인수분해 결과를 거꾸로 곱한다. 위 식에서 약분된 뒤 남은 인수는 3, 11, 5, 3이므로
3·11·5·3 = (3·3)·5·11 = 9·55 = 495
이다. 만약 계산 결과에 2가 남았다면 분모의 2를 없애지 못했거나, 반대로 분모의 인수를 필요 이상으로 지운 것이다. 소인수의 밑과 지수를 비교하면 빠진 인수와 과도하게 약분한 인수를 찾을 수 있다.
형식이 달라진 문항에서 확인하기
같은 식을 반복하지 않고 문제집의 다음 문항으로 바꿔 확인한다.
₁₅C₂ = 15! ÷ (13!·2!)
학생이 계산하기 전에 “15!에서 13!을 먼저 약분하고, 2!은 2·1로 둔다”고 설명한다면
₁₅C₂ = (15·14) ÷ (2·1) = 15·7 = 105
가 된다. 이어서 15·14의 소인수는 3·5·2·7이고 분모의 소인수는 2이므로, 2 하나가 정확히 사라졌는지 역으로 확인하게 한다. 다른 학교 자료를 활용하더라도 정답을 먼저 말하는지가 아니라, 계산 전에 약분 근거를 스스로 설명하는지가 변화의 기준이다.