주엽동고2수학과외, 삼각함수 그래프의 끝점까지 비교하는 최대·최소 판단
주엽동에서 고등학교 과정으로 넘어가면 통학과 과제, 시험 준비가 함께 늘어나면서 풀이 한 줄을 생략한 채 답만 확인하기 쉽습니다. 경기영상과학고등학교와 일산국제컨벤션고등학교가 주엽동에 있고, 주엽고등학교·일산동고등학교·덕이고등학교는 같은 일산서구의 참고 학교이므로 학교별 상황은 다를 수 있지만, 삼각함수의 제한구간 문제에서는 공통적으로 “구간의 모든 후보를 비교했는가”가 중요합니다.
최솟값 후보에서 x=π를 빠뜨린 풀이
다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구해 보겠습니다.
f(x)=2cos x-1, 0≤x≤π
풀이 중 학생은 cos x의 최솟값이 -1이라는 사실을 떠올렸지만, 그래프에서 그 값이 나타나는 위치를 끝까지 확인하지 않았습니다. 첫 줄에 다음처럼 적었습니다.
cos x의 최솟값은 x=π/2에서 0이므로 f(π/2)=-1
이 식은 cos(π/2)=0이라는 계산 자체는 맞지만, cos x의 최솟값을 잘못 판단한 것입니다. 0≤x≤π에서 cos x는 x가 0에서 π로 증가할 때 1에서 -1까지 감소합니다. 따라서 cos x=-1이 되는 위치는 x=π이며, x=π/2에서는 cos x=0입니다.
그래프의 내부점과 구간 끝점을 함께 읽기
이 문제에서는 그래프의 꼭짓점에 해당하는 위치와 제한구간의 끝점을 모두 확인해야 합니다.
- x=0일 때 f(0)=2·1-1=1
- x=π/2일 때 f(π/2)=2·0-1=-1
- x=π일 때 f(π)=2·(-1)-1=-3
따라서 최댓값은 1, 최솟값은 -3입니다. 특히 x=π는 제한구간에 포함된 끝점이므로 반드시 후보에 넣어야 합니다. x=π를 비교하지 않으면 -1을 최솟값으로 잘못 적게 됩니다.
누락된 조건을 풀이 줄 옆에 표시하기
같은 유형을 다시 계산할 때는 완성된 해설을 베끼기보다, 오류가 난 줄만 남겨 두고 빠진 조건을 옆에 적습니다.
0≤x≤π에서 cos x의 최솟값 후보로 끝점 π를 비교하지 않음
이 문장 옆에 다음처럼 직접 보완합니다.
후보: x=0, π/2, π → f(0)=1, f(π/2)=-1, f(π)=-3
이렇게 쓰면 “그래프의 꼭짓점만 찾는 것”과 “주어진 구간에서 최댓값·최솟값을 결정하는 것”이 구분됩니다. 구간이 닫혀 있다면 양 끝점이 포함되는지부터 표시한 뒤, 해당 위치의 함수값을 실제로 계산해야 합니다.
구간과 계수를 바꾼 확인 문제
다음 문제에서는 숫자와 구간을 바꾸어 같은 판단을 확인합니다.
g(x)=-3cos x+2, -π/3≤x≤4π/3
이때 구간의 끝점과 cos x의 변화를 확인하면 다음 후보를 비교할 수 있습니다.
- x=-π/3: g(-π/3)=-3·1/2+2=1/2
- x=π/3: g(π/3)=-3·1/2+2=1/2
- x=π: g(π)=-3·(-1)+2=5
- x=4π/3: g(4π/3)=-3·(-1/2)+2=7/2
따라서 이 구간에서 최댓값은 5가 아니라 7/2가 아니라, 계산을 다시 살펴보면 x=π에서의 값이 5이고 x=4π/3에서의 값은 7/2이므로 최댓값은 5입니다. 최솟값은 양 끝점에서 얻는 1/2입니다.
새 숫자와 넓어진 구간에서도 끝점과 그래프의 주요 위치를 먼저 후보로 적고 함수값을 비교했다면, 제한구간의 최대·최소를 그래프 모양만으로 추측하지 않고 조건에 맞게 결정한 것입니다.