주엽동고1수학과외: 순열식과 조합식의 값 변환 확인
학교 프린트에서 8P3과 3!·8C3이 함께 제시되었을 때, 두 표현을 서로 다른 유형으로 분류하면 계산은 맞아도 식 사이의 관계를 놓치게 된다. 순열은 순서를 고려하고 조합은 순서를 고려하지 않으므로, 같은 대상을 세는 식이라면 다음 관계가 성립한다.
nPr = r!·nCr
따라서 8P3 = 8×7×6 = 336이고, 3!·8C3 = 6×56 = 336이다. 두 식은 모양은 다르지만 값이 같다.
56에서 멈춘 풀이가 놓친 조건
관찰된 답안에는 8C3 = 56을 계산한 뒤 다음 줄에 바로 답을 적은 흔적이 있었다. 조합식의 계산 자체는 맞지만, 문제에서 순열식과 조합식을 서로 바꾸어 나타내라고 했다면 3!을 곱하는 변환이 필요하다. 세 명을 순서 있게 배열하는 경우는 같은 세 명을 고른 뒤 그 세 명의 배열 순서 3!가지를 고려한 것이기 때문이다.
8P3 = 3!·8C3 = 3!·56 = 336
반대로 순열식을 조합식으로 바꿀 때도 8P3을 그대로 8C3으로 바꾸면 안 된다. 8P3은 336이지만 8C3은 56이므로, 8P3 ÷ 3! = 8C3이라는 변환을 적어야 같은 값이 유지된다.
식이 바뀌는 지점에 변환 표시 남기기
오답을 고칠 때는 답만 다시 계산하지 않고, 순열식과 조합식이 만나는 줄에 표시를 남긴다. 예를 들어 “서로 다른 5명 중 2명을 뽑아 순서 있게 세우는 경우”는
5P2 = 5×4 = 20
2!·5C2 = 2×10 = 20
으로 쓸 수 있다. 여기서 5C2는 먼저 두 명을 고르는 단계이고, 2!는 고른 두 명을 배열하는 단계다. 두 식의 값이 같은지 확인한 뒤에야 변환이 제대로 되었는지 판단한다.
주엽동에서 학교 수업과 과제가 겹치는 시기에는 표현만 바뀐 문제를 새 유형으로 분류하기 쉽다. 경기영상과학고등학교와 일산국제컨벤션고등학교는 주엽동 내 학교이고, 주엽고등학교·일산동고등학교·덕이고등학교는 같은 일산서구의 참고 학교이므로 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 짧은 복습 시간에도 식의 관계를 표시하는 연습이 유용하다.
일주일 뒤 확인할 서술형 기록
일주일 뒤에는 계수를 바꾼 문제를 제시한다.
6P2를 조합식으로 나타내고 그 값이 같은지 설명하라.
정확한 답안은 6P2 = 2!·6C2 = 2×15 = 30이다. 이때 식만 적는 것으로 끝내지 않고, “두 명을 고른 뒤 두 명의 순서를 정하므로 2!을 곱한다”는 조건과 “따라서 두 표현의 값은 모두 30이다”라는 결론까지 남기는지 살핀다.
답안 아래에는 “어디서 막혔는가?”라는 질문에 한 문장으로 답하게 한다. 예를 들어 “조합값 15를 구한 뒤 순서를 정하는 2!을 곱하는 변환을 빠뜨렸다”라고 쓰면, 계산 실수와 개념 변환 누락을 구분할 수 있다.