주엽동 고3수학과외, 정적분 함수의 첫 오류를 찾는 풀이
주엽동에서 고등학교 과정으로 넘어온 학생은 통학과 과제, 시험 준비가 동시에 늘면서 풀이를 끝낸 뒤 틀린 줄만 지우는 습관이 생기기 쉽다. 주엽동 내 고등학교로 확인되는 경기영상과학고등학교와 일산국제컨벤션고등학교를 비롯해, 같은 일산서구의 주엽고등학교·일산동고등학교·덕이고등학교를 참고하는 학생들도 정적분 문제에서는 계산보다 함수 사이의 관계를 먼저 확인해야 한다.
f의 영점과 F의 극값을 혼동한 오답
다음과 같이 정적분으로 정의된 함수를 살펴보자.
f(x)=x2-4x+3, F(x)=∫0xf(t)dt
학생은 F의 극값을 찾으며 다음과 같이 적었다.
F′(x)=f′(x)=2x-4=0 이므로 x=2에서 F가 극값을 갖는다.
이 식은 틀렸다. F를 미분하면 적분의 기본정리에 따라 F′(x)=f(x)이지 f′(x)가 아니다. f′(x)=0은 f의 기울기가 0인 지점을 찾는 식이며, F의 극값 조건과 직접 연결되지 않는다.
그래프와 부호로 올바른 중간식 확인하기
먼저 f의 영점을 구한다.
f(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)
따라서 x=1, 3에서 F′(x)=0이다. 부호를 구간별로 확인하면 다음과 같다.
- 0≤x<1에서 f(x)>0이므로 F는 증가한다.
- 1<x<3에서 f(x)<0이므로 F는 감소한다.
- x>3에서 f(x)>0이므로 F는 다시 증가한다.
그러므로 F는 x=1에서 증가에서 감소로 바뀌어 극대, x=3에서 감소에서 증가로 바뀌어 극소를 갖는다. 학생은 틀린 줄에 원을 치고, F′=f라는 핵심 관계와 f의 부호표를 옆에 다시 적은 뒤 계산을 이어갔다.
실제로 적분식을 전개하면
F(x)=∫0x(t2-4t+3)dt
= x3/3-2x2+3x
이므로
F(1)=4/3, F(3)=0
이다. F(0)=0이므로 x=1에서의 값 4/3은 주변 값보다 크고, x=3에서의 값 0은 주변 값보다 작다는 것도 대입으로 확인할 수 있다.
구간을 나누지 않아 생긴 넓이 오답
학생은 x=0부터 x=3까지의 그래프와 x축 사이 넓이를 구하면서
∫03f(x)dx=F(3)-F(0)=0
이라고 답했다. 이 값은 정적분의 부호를 포함한 넓이이지, 그래프와 x축 사이의 기하학적 넓이가 아니다. x=1에서 f의 부호가 바뀌므로 반드시 구간을 나누어야 한다.
학생은 0부터 1까지의 넓이와 1부터 3까지의 넓이를 따로 계산했다.
∫01f(x)dx=F(1)-F(0)=4/3
∫13f(x)dx=F(3)-F(1)=-4/3
두 번째 구간은 그래프가 x축 아래에 있으므로 기하학적 넓이는 4/3이다. 따라서 전체 넓이는
4/3+4/3=8/3
이다. 마지막에는 두 정적분의 합이 0이 되는지 확인하여 signed area와 기하학적 넓이를 구분했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 함수와 영점을 바꾸어 다음 문제를 새로 풀었다.
g(x)=x2-6x+8, G(x)=∫1xg(t)dt
학생은 먼저
g(x)=(x-2)(x-4)
를 확인하고 G′(x)=g(x)이므로 G의 극값 후보가 x=2, 4임을 적었다. g는 1<x<2에서 양수, 2<x<4에서 음수, x>4에서 양수이므로 G는 x=2에서 극대, x=4에서 극소이다.
또한 x=1부터 x=4까지의 기하학적 넓이는 부호가 바뀌는 x=2에서 나누어
∫12g(x)dx-∫24g(x)dx
로 계산해야 한다. 첫 번째 값은 5/3, 두 번째 정적분은 -8/3이므로 넓이는 5/3+8/3=13/3이다. 이처럼 함수식, 적분 시작점, 영점이 달라져도 F′=f, 부호 변화, 구간 분할의 순서를 유지하면 오류가 재발하지 않는다.